应用回归分析_整理课后习题参考答案

第二章 一元线性回归分析 思考与练习参考答案 2.1 一元线性回归有哪些基本假定? 答： 假设1、解释变量 X 是确定性变量，Y 是随机变量； 假设2、随机误差项 ε 具有零均值、同方差和不序列相关性： E(εi)=0 i=1,2, …,n Var (εi)=2 i=1,2, …,n Cov(εi, εj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 假设3、随机误差项 ε 与解释变量 X 之间不相关： Cov(Xi, εi)=0 i=1,2, …,n 假设4、ε 服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 εi~N(0, 2 ) i=1,2, …,n 2.2 考虑过原点的线性回归模型 Yi=β1Xi+εi i=1,2, …,n 误差 εi（i=1,2, …,n）仍满足基本假定。求 β1 的最小二乘估计 解： 得： 2.3 证明（2.27 式），ei =0 ，eiXi=0 。 证明： 其中： 即： ei =0 ，eiXi=0 niiiniXYYYQ121021))ˆˆ(()ˆ(21112)ˆ()ˆ(iniiniiieXYYYQ0)ˆ(2ˆ111iiniieXXYQ)()(ˆ1211niiniiiXYX01ˆˆˆˆiiiiiYXeYY0100ˆˆQQ2.4 回归方程E（Y）=β0+β1X 的参数β0，β1 的最小二乘估计与最大似然估计在什么条件下等价?给出证明。 答：由于εi~N(0, 2 ) i=1,2, …,n 所以 Yi=β0 + β1Xi + εi~N（β0+β1Xi , 2 ) 最大似然函数： 使得 Ln（L）最大的0ˆ ，1ˆ 就是 β0，β1 的最大似然估计值。 同时发现使得 Ln（L）最大就是使得下式最小， 上式恰好就是最小二乘估计的目标函数相同。值得注意的是：最大似然估计是在εi~N(0, 2 )的假设下求得，最小二乘估计则不要求分布假设。 所以在εi~N(0, 2 ) 的条件下， 参数β0，β1 的最小二乘估计与最大似然估计等价。 2.5 证明0ˆ 是 β0 的无偏估计。 证明：)1[)ˆ()ˆ(1110niixxiniiYLXXXYnEXYEE )] )(1([])1([1011iixxiniixxiniXLXXXnEYLXXXnE 01010)()1(])1([ixxiniixxiniELXXXnLXXXnE2.6 证明 证明： )] ()1([])1([)ˆ(102110iixxiniixxiniXVarLXXXnYLXXXnVarVar niiiniXYYYQ121021))ˆˆ(()ˆ()1()1()ˆ(2221220xxniiLXnXXXnVar})],([21exp{)2()(),,(2010122/21210iininiiniXYYfL...