第二章群论第二章群论第5讲§1群的定义（2课时）群论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础。变换群在几何学中起着重要的作用，而有限群则是伽罗华理论（Galois,E[法]1811—1832）的基础。在所有只含一个代数运算的代数体系中，最重要的一个研究对象就是群。而群的等价关系可谓“品种繁多”，本讲只是依教材作一些一般性地介绍，为扩大知识面，这里将适当引入一些如同“半群”和“monoid（幺半群）”这样的基本概念。本讲的教学里要求对逆元（左逆元、右逆元），单位元（左单位元、右单位元）和群以及元素的阶要弄清楚，尤其是彼此的联系务必要明白其脉络。教材中定义的群的第一定义和第二定义的区别及关系必须清楚。由于本讲知识是群论的最基本部分，照理不该出现什么难点，但仍希望能对下列问题引起注意：（1）半群，幺半群和群的关系.（2）本讲的论证部分（通过逐渐熟悉这些理论证明，慢慢踏上“近世代数”的学习之路）.（3）群的阶和群中元素的阶.本章教学活动中群的代数运算“”习惯上称为乘法（这时群也称为乘群），特殊情况下，“”也叫加法并改用“+”表示（群也随之叫做加群）。一、半群、幺半群定义1设G为任一非空集合，G上定义了一个能封闭的代数运算“”，如果“”满足结合律，即)()(,,,cbacbaGcba有，那么代数体系,G叫做是一个半群.注：（1）乘法“”的表达形式上，以后都用“ab”来替代“ba”.（2）在不发生混淆的前提下，半群,G可简记为G.定义2设,G是一个半群，那么如果乘法“”满足交换律，则称,G为可换半群.如果G是有限集，则称,G为有限半群.例1,,,ZZ都是半群，并且是可换半群.其中“+”和“·”分别是通常的加法和乘法。（但不是有限半群）同理：,,,QQ，,,,,,,,NNNN，,,,,,,,,,,,,,,CCCRRRQ都是可换半群。例2取F为任一数域，)(FMn为F上一切n阶方阵组成的集合。若“+”和“·”均为通常矩阵的加法和乘法，那么),(FMn和),(FMn均为半群，但),(FMn为可换半群，而当1n时，),(FMn不是可换半群。若)(FM表示一切非零矩阵（n阶）组成的集合，那么,)(FMn和,)(FMn都不是半群了（为什么？）提示：A≠0，B≠0，但可能A+B=0，AB=0。例3设}4,3,2,1{A，而AAPS)((的全部子集构成的集合），通常叫做A的幂集。那么,S及,S都是有限可换半群。.思考题：能否举出一个是半群但不是幺半群的例子？例如,全体偶数构成的集合2Z,对普通数的乘法构成半群,但不是幺半群.定义2：设,G是一个半群，如果G中含有单位元e，那么称,G为幺半群，通常写为eG,,.定义（群的定义）G“对”来说是一个群应满足下列四条：（1）“”在G中是封闭的（即“”是代数运算）；（2）“”满足结合律(即,G是半群)；（3）},{G中有左单位元e，（即,G是幺半群）；（4）},{G中每个元都有左逆元（即,G是群）。群的定义群的名词和符号设,G是一个群，那么集合G中含元素的个数称为群G的阶.简记为G.如果nG+∞，称G为有限群，否则当G+∞时，称G为无限群.例如：,Z是无限群，而,nZ是有限群.例4整数集Z关于数的加法构成交换群,左单位元是0,每个数的左逆元是它的相反数.Z关于数的普通乘法不构成群，因为，除了土1的其他任何整数在Z中都没有左逆元．例5有理数全体Q在通常的数的加法下也是一个加法群.同理实数全体R及复数全体C在数的加法下都成群.Q在数的乘法下不构成群,但是如果用Q表示非零有理数全体,则Q在数的乘法下成为一个交换群,左单位元为1,qp的左逆元为pq.同理R(非零实数全体),C(非零复数全体)在数的乘法下都成群.例6设{GAA是有理数上的n阶矩阵,0}A,G关于矩阵的乘法构成一个群,但不是交换群.例7设G为整数集．证明：G对运算1abab作成一个群.证明,abG，显然1ab为由a与b唯一确定的整数，故所给运算是G的一个代数运算．,,abcG，有()(1)(1)12abcabcabcab...
