立体几何初步立体几何初步垂直关系垂直关系理解教材新知理解教材新知应用创新演练应用创新演练知识点一垂直关系的性质垂直关系的性质把握热点考向把握热点考向考点一考点二考点三知识点二问题1：在大路的两侧有许多树木，这些树木垂直于地面，那么这些树木所在直线是怎样的位置关系呢？提示：平行．问题2：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1都垂直于平面ABCD，它们之间有什么位置关系呢？提示：平行．问题3：垂直于同一平面的两条直线是否平行呢？提示：平行．问题4：垂直于同一直线的两直线是否平行呢？提示：不一定，若在同一平面内，则平行，若在空间中，可能平行，相交，也有可能异面．直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言如果两条直线同，那么这两条直线平行⇒a∥ba⊥αb⊥α垂直于一个平面问题1：黑板所在平面与地面所在平面垂直，能否在黑板上画一条直线与地面垂直？提示：能，画一条直线垂直于交线．问题2：如图长方体ABCD－A′B′C′D′中，平面A′ADD′与平面ABCD垂直，平面A′ADD′内的直线AD′、A′A与平面ABCD垂直吗？平面A′ADD′内的直线满足什么条件时才与平面ABCD垂直？提示：AA′与平面ABCD垂直；AD′与平面ABCD不垂直．平面A′ADD′内的直线与AD垂直时才与平面ABCD垂直．平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们直垂直于另一个平面α⊥βα∩β＝laαa⊥l交线1.线面垂直的性质定理提供了证明线线平行的重要依据，也是由垂直转化为平行的重要方法.2.面面垂直的性质定理可简记为“面面垂直，则线面垂直”.但“线”必须同时满足两个条件，即在其中一个平面内且垂直于交线，“在平面内”不能舍去.[例1]如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于E，D是FG的中点，AF＝AG，EF＝EG.求证：BC∥FG.[思路点拨]证明BC⊥平面ADE，FG⊥平面ADE，可得BC∥FG.[精解详析]连接DE. AD⊥AB，AD⊥AC，∴AD⊥平面ABC.又BC平面ABC，∴AD⊥BC，又AE⊥BC.∴BC⊥平面ADE. AF＝AG，D为FG的中点，∴AD⊥FG.同理ED⊥FG，AD∩ED＝D.∴FG⊥平面ADE.∴BC∥FG.[一点通]1．线面垂直的性质给我们提供了证明线线平行的方法.2．证明线线平行的方法(1)a∥c，b∥c⇒a∥b.(2)a∥α，aβ，β∩α＝b⇒a∥b.(3)α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.(4)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1都垂直的直线有()条A．1B．2C．3D．无数条解析：显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满足条件，则l⊥B1C1，l⊥AB，又AB∥C1D1，则l⊥C1D1，B1C1∩C1D1＝C1，∴l⊥平面B1C1D1.同理DD1⊥平面B1C1D1，则l∥DD1.又l与DD1都过M.这是不可能的，因此只有DD1一条满足条件．答案：A2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.证明：如图所示，连接AB1、B1C、BD. DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又 AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1. BD1平面BDD1B1，∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C. EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.[例2]如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝.等边三角形ADB以AB为轴转动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.[思路点拨](1)取AB的中点E，连接DE，CE，由于平面ADB⊥平面ABC，故由面面垂直的性质定理得DE⊥CE，从而在Rt△DCE中，可求CD.(2)分D是否在平面ABC内进行讨论．2[精解详析](1)如右图，取AB的中点E，连接DE，CE.因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得DE＝3，EC＝1.在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2，(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面C...
