数值分析(计算方法)总结

第一章 绪论 误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差 ε(x) = |x − x∗|是x∗的绝对误差，e = x∗ − x是x∗的误差，ε(x) = |x − x∗| ≤ ε，ε为x∗的绝对误差限（或误差限） er = ex = x∗−xx 为x∗ 的相对误差，当|er|较小时，令 er = ex∗ = x∗−xx∗ 相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|er| = |x∗−x||x∗| ≤ε|x∗| = εr 绝对误差有量纲，而相对误差无量纲 若近似值x∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x∗有 n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。 例：设 x=π=3.1415926… 那么x∗ = 3, ε1(x) = 0.1415926… ≤ 0.5 × 100,则x∗有效数字为 1位，即个位上的 3，或说 x ∗精确到个位。 科学计数法：记x∗ = ±0.a1a2 ⋯ an × 10m(其中a1 ≠ 0), 若|x − x∗| ≤ 0.5 × 10m−n，则x∗有 n 位有效数字，精确到10m−n。 由有效数字求相对误差限：设近似值x∗ = ±0. a1a2 ⋯ an × 10m（a1 ≠ 0）有 n 位有效数字，则其相对误差限为 12a1× 101−n 由相对误差限求有效数字：设近似值x∗ = ±0. a1a2 ⋯ an × 10m（a1 ≠ 0）的相对误差限为为12（a1+1）× 101−n则它有 n 位有效数字 令x∗、y∗是 x、y 的近似值，且|x∗ − x| ≤ η(x)、|y∗ − y| ≤ η(y) 1. x+y 近似值为x∗ +y∗, 且 η(x +y) = η(x) +η（y）和的误差（限）等于误差（限）的和 2. x-y 近似值为x∗ − y∗, 且 η(x +y) = η(x) +η（y） 3. xy 近似值为x∗y∗, η(xy) ≈ |x∗| ∗ η(y) +|y∗| ∗ η(x) 4. η(xy) ≈ |x∗|∗η(y)+|y∗|∗η(x)|y∗|2 1．避免两相近数相减 2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根 1.逐步搜索法 设f (a) <0, f (b)> 0，有根区间为 (a, b)，从x0=a 出发， 按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(xk)=f(a+kh)的符号，若f(xk)>0(而f(xk-1)<0),则有根区间缩小为[xk-1,xk] (若f(xk)=0，xk即为所求根), 然后从xk-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|xk-xk-1|< 为止，此时取x*≈(xk+xk-1)/2 作为近似根。 2.二分法 设f...