数值分析第一次上机练习实验报告 ——Lagrange 插值与三次样条插值 一、 问题的描述 设 211 9f xx , 1,1x ,取15iix ,0,1,2,...,10i .试求出10次 Lagrange插值多项式 10Lx 和三次样条插值函数 S x (采用自然边界条件),并用图画出 fx , 10Lx , S x . 二、 方法描述——Lagrange 插值与三次样条插值 我们取15iix ,0,1,2,...,10i ，通过在ix 点的函数值 211 9iifxx 来对原函数进行插值，我们记插值函数为 g x ，要求它满足如下条件： 21,0,1, 2,...,101 9iiig xfxix (1) 我们在此处要分别通过Lagrange 插值(即多项式插值)与三次样条插值的方法对原函数 211 9f xx 进行插值，看两种方法的插值结果，并进行结果的比较。 10 次的Lagrange 插值多项式为： 10100i iiLxylx (2) 其中： 21,0,1, 2,...,101 9iiiyfxix 以及 011011......,0,1,2,...,10......iiniiiiiiinxxxxxxxxlxixxxxxxxx 我们根据(2)进行程序的编写，我们可以通过几个循环很容易实现函数的Lagrange 插值。 理论上我们根据区间1,1上给出的节点做出的插值多项式 nLx 近似于 fx ， 而多项式 nLx 的次数n 越高逼近 fx 的精度就越好。但实际上并非如此，而是对任意的插值节点，当 n 的时候 nLx 不一定收敛到 fx ； 而是有时会在插值区间的两端点附近会出现严重的 nLx 偏离 fx 的现象，即所谓的Ru nge 现象。因此用高次插值多项式 nLx 近似 fx 的效果并不总是好的，因而人们通常在选择插值方式的时候不用高次多项式插值，而用分段低次插值，而这样的插值效果往往是非常好的，能够克服高次多项式插值的弱点，达到令人满意的效果。 分段低次插值包括分段线性插值、分段三次Hermite 插值、三次样条插值等。前两种插值函数都具有一致收敛性，但是光滑性较差，而在实际问题中我们往往要求函数具有二阶光滑度，即有二阶连续导数。而对第三种插值方式，我们得到的是一个样条曲线，它是由分段三次曲线拼接而成，在连接点(即样点)上二阶导数连续。 我们记三次样条插值函数为 S x ，它在每个小区间1,,0,1, 2,...,...
