数值分析公式、定理等

第一章 绪论 1. x ＝n21kaaa.010，如果｜x －x|≤0.5nk10（这里 n 是使此式成立的最大正整数），则称x 为 x 的具有 n 位有效数字的近似值。 2．定理：设 x 的近似值x 有（1-1）的表示式： （１）如果x 有 n 位有效数字，则 n1110a21|x||xx| （２）如果n1110)1a(21|x||xx|，则x 至少有 n 位有效数字。 第二章 非线性方程根求解 1. （零点存在定理）如果f(x)在[a,b]上连续，使 f(a)f(b)<0，则必存在(a,b)，使 f()=0。 2.二分法的误差： |1k1kkk2ab|xx||xx 3. 局部收敛性：设是 f(x)=0 的根，若存在的一个邻域  ，当迭代初值属于 时，迭代法得到的序列{kx } 收敛到，则称该迭代法关于根具有局部收敛性。 4. 收敛速度：设ix 为第i 次迭代值，是 f(x)=0 的根，令iix，且假设迭代收敛，即iixlim。若存在实数 P1，使 c||||limpi1ii0 ，则称此方法关于根具有 P阶收敛速度。C 称为渐近误差常数，渐近误差常数 C 与 f(x)有关。C0 保证了 P 的唯一性。对于特殊的函数，C 可能为零，此时，由这个函数针对此方法迭代产生的序列收敛得更快。一般情况下，P 越大，收敛就越快。当 P=1 时，我们称为线性收敛。P>1，称为超线性收敛。P=2，称为平方收敛。 5.牛顿迭代法：)x(f)x(fxxkkk1k 定理 3：如果方程 f(x)=0 的根是单根，且在的某领域内 f(x)具有二阶的连续导数,则Newton 迭代法必是局部收敛的 且 )(f2)(flim2i1ii（即具有二阶收敛速度） 定理 4：如果是方程 f(x)=0 的 r 重根（r>1），且 f(x)在的某邻域内具有 r 阶连续导数，则 Newton 法具有局部收敛性，且具有线性收敛速度。 定理 5：如果是方程 f(x)=0 的 r 重根（r>1），且 f(x)在的某邻域内具有 r+2 阶连续导数，则修正 Newton 迭代公式：)x(f)x(frxxiii1i，具有局部收敛性，且具有二阶收敛速度。 定理6：设f(x)在f(x)=0 的有根区间[a,b]上二阶导数存在，且满足：（1）f(a) f(b)<0； （2）)x(f),x(f在[a,b]中不变号。则对[a,b]任一使f(x)f(x)>0 的点0x ，都能使Newton 迭代法：)x(f)x(fxxkkk1k 得到的序列 kx收敛到方程f(x)=0 唯一的根。 6.弦割法：)xx()x(f)x(f)x(fxx1ii1iiii1...