数值分析知识点总结

1 数值分析知识点总结 说 明：本文只提供部分较好的例题，更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。 一、第 1 章 数值分析与科学计算引论 1 . 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？ 相对误差限：**rre 的一个上界。 有效数字：如果近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说x*共有n 位有效数字。即x*=±10m×(a1+a2×10-1+… +an×10-(n-1))，其中 a1≠0，并且*111 02m nxx 。其中 m 位该数字在科学计数法时的次方数。例如9.80 的m 值为 0，n 值为 3，绝对误差限*2111 02。 2 . 一个比较好用的公式： f(x )的误差限：***()'()()f xfxx 例题： 2 二、第 2 章 插值法 例题： 3 4 5. 给出插值多项式的余项表达式，如何用其估计截断误差？ 6. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？ 5 7. 确定n+1 个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？ 8. 三弯矩法： 为了得到三次样条表达式，我们需要求一些参数： 对于第一种边界条件，可导出两个方程： 6 ，那么写成矩阵形式： 公式 1 对于第二种边界条件，直接得端点方程： ，则在这个条件下也可以写成如上公式 1 的形式。 对于第三种边界条件，可得： 也可以写成如下矩阵形式： 公式 2 求解以上的矩阵可以使用追赶法求解。（追赶法详见第五章） 例题：数值分析 第5 版 清华大学出版社 第44 页例 7 7 三、第 3 章 函数逼近与快速傅里叶变换 3 . 什么是[a,b]上带权( )x的正交多项式？什么是[-1,1]上的勒让德多项式？它有什么重要性质？ 8 4 . 什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？ 5 . 用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同? 6 . 什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数 n 较大时，为什么不直接求解法方程？ 9 例题请参考第3 章书上的作业题和课件上的例题。 1 0 四、第 4 章 数值积分与数值微分 1 1 10. 什么叫高斯-勒让德求积公式？什么叫做高斯-切比雪夫求积公式？ 在高斯求积公式中，若取权函数( )1x ，区间为[-1,1]，则得公式： 公式 3 勒让德多项式的零点就是公式 3 的高斯点。形如公式 3 的高斯公式特别地称为高斯-勒让德...