数值分析第二章复习与思考题

第1页，共7页 262980288.doc 第二章复习与思考题 1.什么是拉格朗日插值基函数？它们是如何构造的？有何重要性质？ 答：若n 次多项式 ),,1,0(njxlj在1n个节点nxxx10上满足条件  ,,,1,0,,,0,,1nkjjkjkxlkj 则称这1n个n 次多项式    xlxlxln,,,10为节点nxxx,,,10上的n 次拉格朗日插值基函数. 以  xlk为例，由  xlk所满足的条件以及  xlk为n 次多项式，可设    nkkkxxxxxxxxAxl110， 其中 A 为常数，利用   1kk xl得   nkkkkkkxxxxxxxxA1101， 故   nkkkkkkxxxxxxxxA1101， 即      nkjjjkjnkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl0110110)(. 对于  ),,1,0(nixli，有  nkxxlxnikiki,,1,00，特别当0k时，有  nii xl01. 2.什么是牛顿基函数？它与单项式基nxx,,,1有何不同？ 答：称 10100,,,,1nxxxxxxxxxx为节点nxxx,,,10上的牛顿基函数，利用牛顿基函数，节点nxxx,,,10上的n 次牛顿插值多项式 xPn可以表示为   10010nnnxxxxaxxaaxP 其中nkxxxfakk,,1,0,,,,10.与拉格朗日插值多项式不同，牛顿插值基函数在增加节点时可以通过递推逐步得到高次的插值多项式，例如    kkkkxxxxaxPxP011, 第2页，共7页 262980288.doc 其中1ka是节点110,,,kxxx上的1k阶差商，这一点要比使用单项式基nxx,,,1方便得多. 3.什么是函数的n 阶均差？它有何重要性质？ 答 ： 称  000,xxxfxfxxfkkk为 函 数 xf关 于 点kxx ,0的一 阶均 差，110010,,,,xxxxfxxfxxxfkkk为  xf的二阶均差. 一般地，称 11102010,,,,,,,,nnnnnnxxxxxfxxxfxxxf为  xf的n 阶均差. 均差具有如下基本性质： (1) n 阶均差可以表示为函数值     nxfxfxf,,,10的线性组合，即    njnjjjjjjjnxxxxx...