数值分析课后习题答案4

第一章题 12 给定节点01x=− ，1 1x= ，2 3x= ，3 4x= ，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项：（1）（1）3() 432fxxx=−+（2）（2）43()2fxxx=−解（1）(4)() 0f x= ，由拉格朗日插值余项得(4)0123()()()()()()() 04!ffx pxx x x x x x x xξ−=−−−−=；（2）(4)() 4!f x=由拉格朗日插值余项得01234!()()()()()()4!fx pxx x x x x x x x−=−−−−( 1)(1)(3)(4)xxxx=+−−−.题 15证 明 ：对于()fx以0x，1x为 节点的 一次 插值多 项式()px，插值误 差01210()()()max ()8x xxx xfx pxf x≤≤−′′−≤.证由拉格朗日插值余项得01()()()()()2!ffx pxx x x xξ′′−=−−，其中01xxξ≤ ≤ ，010101max ()()()()()()()()2!2!x xxf xffx pxx x x xx x x xξ≤≤′′′′−=−−≤−−01210()max ()8x xxx xf x≤≤−′′≤.题 22 采用下列方法构造满足条件(0)(0)0pp′== ，(1)(1)1pp′== 的插值多项式()px：（1）（1）用待定系数法；（2）（2）利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0pp′== ，(1)1p = 的插值多项式()px.解（1）有四个插值条件，故设230123()px a ax ax ax=+++，2123()23px aax ax′ = ++，代入得方程组001231123010231aa a a aaaaa=⎧⎪ + + +=⎪⎨=⎪⎪++=⎩解之，得01230021aaaa=⎧⎪ =⎪⎨ =⎪⎪ =−⎩23() 2pxx x∴=− ；（2）先求满足插值条件(0)(0)0pp′== ， (1)1p = 的插值多项式()px，由 0为二重零点，可设2()px ax=，代入(1)1p = ，得1a= ，2()pxx∴=；再求满足插值条件(0)(0)0pp′== ，(1)(1)1pp′== 的插值多项式 ()px，可设22()( 1)pxx bxx=+− ，2() 22 ( 1)pxx bxxbx′ =+− + ，代入(1)1p′ = ，得1b=−，2223()( 1)2pxx x xx x∴=−− =− .题 33 设分段多项式323201()21 12x xxSxx bx cxx⎧ +≤ ≤=⎨++ −≤ ≤⎩是以 0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数 ,bc的值.解由 (1)2S= 得 21 2b c+ + − = ，1b c∴ + = ；223201()6212xxxS xxbxcx⎧+< <′ =⎨++< <⎩，由(1)5S′ = 得6 25b c++ = ，21b c∴+ =−；联立两方程，得2, 3bc=−= ，且此时6201() 12 212xxS xx bx+< <⎧′′ =⎨+< <⎩，(1)8(1)SS−+′′′′= =，()Sx是以 0,1,2为节点的三次样条函数.题 35 用最小二乘法解下列超定方程组：24113532627xyxyxyx y+=⎧⎪...