数值积分的matlab实现

实验10 数值积分 实验目的： 1．了解数值积分的基本原理； 2．熟练掌握数值积分的MATLAB 实现； 3．会用数值积分方法解决一些实际问题。 实验内容： 积分是数学中的一个基本概念，在实际问题中也有很广泛的应用。同微分一样，在《微积分》中，它也是通过极限定义的，由于实际问题中遇到的函数一般都以列表形式给出，所以常常不能用来直接进行积分。此外有些函数虽然有解析式，但其原函数不是初等函数，所以仍然得不到积分的精确值，如不定积分 1 0 dsinxxx。这时我们一般考虑用数值方法计算其近似值，称为数值积分。 10.1 数值微分简介 设函数( )yf x在*x 可导，则其导数为 hxfhxfxfh)()(lim)(**0* （10.1） 如果函数( )yf x以列表形式给出（见表10-1），则其精确值无法求得，但可由下式求得其近似值 hxfhxfxf)()()(*** （10.2） 表 10-1 x …… y …… 一般的，步长h 越小，所得结果越精确。（10.2）式右端项的分子称为函数( )yf x在*x 的差分，分母称为自变量在*x 的差分，所以右端项又称为差商。数值微分即用差商近似代替微商。常用的差商公式为： 000()()()2f xhf xhfxh （10.3） hyyyxf243)(2100 （10.4） 0x1x0y1y2x2ynynxhyyyxfnnnn234)(12 （10.5） 其误差均为2()O h，称为统称三点公式。 10.2 数值微分的MATLAB 实现 MATLAB 提供了一个指令求解一阶向前差分，其使用格式为： dx=diff(x) 其中x 是n 维数组，dx 为1n  维数组21321,,,nxx xxxx,这样基于两点的数值导数可通过指令diff(x)/h 实现。对于三点公式，读者可参考例1 的M 函数文件diff3.m。 例1 用三点公式计算( )yf x在x1.0,1.2,1.4 处的导数值，( )f x 的值由下表给出。 x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 )(xf 0.2500 0.2268 0.2066 0.1890 0.1736 解：建立三点公式的M 函数文件diff3.m 如下： fu nction f=diff3(x ,y ) n=length(x );h=x (2)-x (1); f(1)=(-3*y (1)+4*y (2)-y (3))/(2*h); for j=2:n-1 f(j)=(y (j+1)-y (j-1))/(2*h); end f(n)=(y (n-2)-4*y (n-1)+3*y (n))/(2*h); 在MATLAB 指令窗中输入指令： x =[1.0,1.1,1.2,1.3,1.4];y =[0.2500,0.2268,0.2066,0.1890,0.1736];diff3(x ,y ) 运行得各点的导数值为：-0.2470，-0.2170，-0.1890，-0.1650，-0.0014。所以( )yf x在...