第3 章 解线性方程组的直接法 在近代数学数值计算和工程应用中，求解线性方程组是重要的课题
例如，样条插值中形成的关系式，曲线拟合形成的法方程等，都落实到解一个元线性方程组，尤其是大型方程组的求解，即求线性方程组（3
1）的未知量的数值
1） 其中ai j，bi 为常数
上式可写成矩阵形式Ax = b，即 （3
2） 其中，为系数矩阵，为解向量，为常数向量
当detA=D0 时，由线性代数中的克莱姆法则，方程组 的解存在且惟一，且有 为系数矩阵的第列元素以代替的矩阵的行列式的值
克莱姆法则在建立线性方程组解的理论基础中功不可没，但是在实际计算中，我们难以承受它的计算量
例如，解一个100 阶的线性方程组，乘除法次数约为（101·100
·99），即使以每秒的运算速度，也需要近年的时间
在石油勘探、天气预报等问题中常常出现成百上千阶的方程组，也就产生了各种形式方程组数值解法的需求
研究大型方程组的解是目前计算数学中的一个重要方向和课题
解方程组的方法可归纳为直接解法和迭代解法
从理论上来说，直接法经过有限次四则运算，假定每一步运算过程中没有舍入误差，那么，最后得到方程组的解就是精确解
但是，这只是理想化的假定，在计算过程中，完全杜绝舍入误差是不可能的，只能控制和约束由有限位算术运算带来的舍入误差的增长和危害，这样直接法得到的解也不一定是绝对精确的
迭代法是将方程组的解看作某种极限过程的向量极限的值，像第 2 章中非线性方程求解一样，计算极限过程是用迭代过程完成的，只不过将迭代式中单变量换成向量而已
在用迭代算法时，我们不可能将极限过程算到底，只能将迭代进行有限多次，得到满足一定精度要求的方程组的近似解
在数值计算历史上，直接解法和迭代解法交替生辉
一种解法的兴旺与计算机的硬件环境和问题规模是密切相关的
一般说来，对同等规模的线性方程组，直接法对计算机的要求高于迭
