第3 章 解线性方程组的直接法 在近代数学数值计算和工程应用中，求解线性方程组是重要的课题。例如，样条插值中形成的关系式，曲线拟合形成的法方程等，都落实到解一个元线性方程组，尤其是大型方程组的求解，即求线性方程组（3.1）的未知量的数值。 （3.1） 其中ai j，bi 为常数。上式可写成矩阵形式Ax = b，即 （3.2） 其中，为系数矩阵，为解向量，为常数向量。当detA=D0 时，由线性代数中的克莱姆法则，方程组 的解存在且惟一，且有 为系数矩阵的第列元素以代替的矩阵的行列式的值。克莱姆法则在建立线性方程组解的理论基础中功不可没，但是在实际计算中，我们难以承受它的计算量。例如，解一个100 阶的线性方程组，乘除法次数约为（101·100！·99），即使以每秒的运算速度，也需要近年的时间。在石油勘探、天气预报等问题中常常出现成百上千阶的方程组，也就产生了各种形式方程组数值解法的需求。研究大型方程组的解是目前计算数学中的一个重要方向和课题。 解方程组的方法可归纳为直接解法和迭代解法。从理论上来说，直接法经过有限次四则运算，假定每一步运算过程中没有舍入误差，那么，最后得到方程组的解就是精确解。但是，这只是理想化的假定，在计算过程中，完全杜绝舍入误差是不可能的，只能控制和约束由有限位算术运算带来的舍入误差的增长和危害，这样直接法得到的解也不一定是绝对精确的。 迭代法是将方程组的解看作某种极限过程的向量极限的值，像第 2 章中非线性方程求解一样，计算极限过程是用迭代过程完成的，只不过将迭代式中单变量换成向量而已。在用迭代算法时，我们不可能将极限过程算到底，只能将迭代进行有限多次，得到满足一定精度要求的方程组的近似解。 在数值计算历史上，直接解法和迭代解法交替生辉。一种解法的兴旺与计算机的硬件环境和问题规模是密切相关的。一般说来，对同等规模的线性方程组，直接法对计算机的要求高于迭代法。对于中等规模的线性方程组，由于直接法的准确性和可靠性高，一般都用直接法求解。对于高阶方程组和稀疏方程组（非零元素较少），一般用迭代法求解。 3 .1 消元法 3 .1 .1 三角形方程组的解 形如下面三种形式的线性方程组较容易求解。 对角形方程组 （3 .3 ） 设，对每一个方程，。 显然，求解n 阶对角方程的运算量为 。 下三角方程组 （3 .4 ） 按照方程组的顺序，从第一个方程至第个方程，逐个解出。 由方程，得。将的值代入到第二个方程...
