第一章 引论 计算方法解决问题的主要思想 计算方法的精髓：以直代曲、化繁为简 1、采用“构造性”方法 构造性方法是指具体地把问题的计算公式构造出来。这种方法不但证明了问题的存在性，而且有了具体的计算公式，就便于编制程序上机计算。 2、采用“离散化”方法 把连续变量问题转为求离散变量问题。 例：把定积分离散成求和，把微分方程离散成差分方程。 3、采用“递推化”方法 将复杂的计算过程归结为简单过程的多次重复。由于递推算法便于编写程序，所以数值计算中常采用“递推化”方法。 4、采用“近似代替”方法 计算机运算必须在有限次停止，所以数值方法常表现为一个无穷过程的截断，把一个无限过程的数学问题，转化为满足一定误差要求的有限步来近似替代。 算法的可行性分析 时间复杂度、空间复杂度 分析算法的复杂性（包含时间复杂性和空间复杂性）。 时间复杂度是算法耗费时间的度量。 算法的空间复杂度是指算法需占用存储空间的量度 算法的可靠性分析 良态算法、病态算法 一个算法若运算过程中舍入误差的积累对最后计算结果影响很大，则称该算法是不稳定的或病态算法，反之称为稳定算法或良态算法。 误差的来源 1、模型误差 我们所建立的数学模型是对实际问题进行抽象简化而得到的。因而总是近似的，这就产生了误差。这种数学模型解与实际问题的解之间出现的误差，称为模型误差。 2、观测误差 观测到的数据与实际数据之差。 3、截断误差 数学模型的准确解与计算方法的准确解之间的误差。 4、舍入误差 由于计算机字长有限，原始数据在计算机上表示会产生误差，每次计算又会产生新的误差，这种误差称为舍入误差。 绝对误差、相对误差 定义 2 记 x*为x的近似数，称 E(x)=x-x*为近似数 x*的绝对误差，|E(x)|为绝对误差限。 定义 3 称 Er(x)=(x-x*)/x为近似数 x*的相对误差。实际运算时也将 Er*(x)=(x-x*)/x*称为近似数 x*的相对误差。 “四舍五入”：即尾数是 4或以下则舍去，尾数是 6或以上则进 1，如果尾数是 5，则规定：前面一位数字是偶数则舍去，奇数则进 1。 定义 4 将近似数 x*写为十进制形式 若其中 x*的最末一位数 an是经过“四舍五入”得到的，即 （最后一位是因为进 1，实际上只进 0.5或舍去最多 0.5。） 则称近似数 x*具有 n位有效数字。 近似数 x*的有效数字位数 n越大，则近似数的绝对误差限便越小，若近似数具有 n位有效数字，则相对误差限为 第二章...
