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数列中的最大项或最小项问题的求解

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- 1 - 数列中的最大项或最小项问题的求解方法 法一 :利用单调性 ①差值比较法 若有0)()1(1nfnfaann,则nnaa1,则121nnaaaa,即数列}{na是单调递增数列,所以数列}{na的最小项为)1(1fa ; 若有0)()1(1nfnfaann,则nnaa1,则121nnaaaa,即数列}{na是单调递减数列,所以数列}{na的最大项为)1(1fa . ②商值比较法 若有0)(nfan对于一切n∈N *成立,且1)()1(1nfnfaann,则nnaa1,则121nnaaaa即数列}{na是单调递增数列,所以数列}{na的最小项为)1(1fa ; 若有0)(nfan对于一切n∈N *成立,且1)()1(1nfnfaann,则nnaa1,则121nnaaaa即数列}{na是单调递减数列,所以数列}{na的最小项为)1(1fa . ③利用放缩法 若进行适当放缩,有nnanfnfa)()1(1,则121nnaaaa,即数列}{na是单调递增数列,所以数列}{na的最小项为)1(1fa ; 若进行适当放缩,有nnanfnfa)()1(1,则121nnaaaa,即数列}{na是单调递减数列,所以数列}{na的最大项为)1(1fa . 法二: 先猜后证 通 过 分 析 ,推 测 数列}{na的某 项ka(k ∈ N *) 最大( 或最小),再 证 明)(knknaaaa或 对于一切n∈N *都成立即可. 这样就将求最值问题转化为不等式的证明问题. - 2 - 例1 已知函数xxxf63)(2  ,Sn 是数列}{na的前n 项和,点(n,Sn)(n∈N *)在曲线)(xfy 上.(Ⅰ)求数列}{na的通项公式;(Ⅱ)若1)21(nnb, 6nnnbac•,且Tn 是数列}{nc的前n 项和. 试问 Tn 是否存在最大值?若存在,请求出 Tn 的最大值;若不存在,请说明理由. 解 (Ⅰ )因 为 点(n ,Sn )在曲线)(xfy 上,又xxxf63)(2 ,所 以nnSn632 . 当 n=1 时,311 Sa. 当 n>1 时,1nnnSSa ,69)]1(6)1(3[)63(22nnnnn 当 n=1 时,31 a也满足上式,所以nan69 . (Ⅱ)因为nnnnnnnnnbacb)21)(23(6)21)(69(61,)21(11 ① 所以,)21)(23()21)(3()21)(1(2132nnnT ② ,)21)(23()21)(3()21)(1()21(211432nnnT ③ ②-③得 132)21)(23()21)(2()21)(2()21)(2(2121nnnnT 112)21)(23(211])21(...

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