数列中的最大项或最小项问题的求解

- 1 - 数列中的最大项或最小项问题的求解方法 法一 ：利用单调性 ①差值比较法 若有0)()1(1nfnfaann，则nnaa1，则121nnaaaa，即数列}{na是单调递增数列，所以数列}{na的最小项为)1(1fa ； 若有0)()1(1nfnfaann，则nnaa1，则121nnaaaa，即数列}{na是单调递减数列，所以数列}{na的最大项为)1(1fa . ②商值比较法 若有0)(nfan对于一切n∈N *成立，且1)()1(1nfnfaann，则nnaa1，则121nnaaaa即数列}{na是单调递增数列，所以数列}{na的最小项为)1(1fa ； 若有0)(nfan对于一切n∈N *成立，且1)()1(1nfnfaann，则nnaa1，则121nnaaaa即数列}{na是单调递减数列，所以数列}{na的最小项为)1(1fa . ③利用放缩法 若进行适当放缩，有nnanfnfa)()1(1，则121nnaaaa，即数列}{na是单调递增数列，所以数列}{na的最小项为)1(1fa ； 若进行适当放缩，有nnanfnfa)()1(1，则121nnaaaa，即数列}{na是单调递减数列，所以数列}{na的最大项为)1(1fa . 法二： 先猜后证 通 过 分 析 ，推 测 数列}{na的某 项ka(k ∈ N *) 最大（ 或最小），再 证 明)(knknaaaa或 对于一切n∈N *都成立即可. 这样就将求最值问题转化为不等式的证明问题. - 2 - 例1 已知函数xxxf63)(2  ，Sn 是数列}{na的前n 项和，点（n，Sn）（n∈N *）在曲线)(xfy 上.（Ⅰ）求数列}{na的通项公式；（Ⅱ）若1)21(nnb， 6nnnbac•，且Tn 是数列}{nc的前n 项和. 试问 Tn 是否存在最大值？若存在，请求出 Tn 的最大值；若不存在，请说明理由. 解 （Ⅰ ）因 为 点（n ，Sn ）在曲线)(xfy 上，又xxxf63)(2 ，所 以nnSn632 . 当 n=1 时，311 Sa. 当 n>1 时，1nnnSSa ,69)]1(6)1(3[)63(22nnnnn 当 n=1 时，31 a也满足上式，所以nan69 . （Ⅱ）因为nnnnnnnnnbacb)21)(23(6)21)(69(61,)21(11 ① 所以,)21)(23()21)(3()21)(1(2132nnnT ② ,)21)(23()21)(3()21)(1()21(211432nnnT ③ ②－③得 132)21)(23()21)(2()21)(2()21)(2(2121nnnnT 112)21)(23(211])21(...