数列求和的十二种方法及递推数列求通项

1 十二类递推数列求通项公式 对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 类型1 递推公式为aaf nnn 1( ) 解法：把原递推公式转化为aaf nnn 1( ) ，利用累加法求解。 例1．已知数列 an满足aaannnn112121，，求an 。 类型2 递推公式为af n ann 1( ) 解法：把原递推公式转化为aaf nnn 1( ) ，利用累乘法求解。 例2．已知数列 an满足aannann11231，，求an 类型3 递推公式为apaqnn 1（其中p，q 均为常数，pq p 10 ）。 解法：把原递推公式转化为：atp atnn 1 其中tqp1，再利用换元法转化为等比数列求解。 例3．已知数列 an中，aaann11123，，求an 。 类型4 递推公式为apaqnnn 1（其中p，q 均为常数，pq pq110 ）。 解法：该类型较类型3 要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以q n1 ，得： aqpqaqqnnnn 111·引 入 辅 助 数列 bn（其中baqnnn），得：bpq bqnn 11 再应用类型3 的方法解决。 例4．已知数列 an中，aaannn111561312  ，，求an 。 类型5 递推公式为apaqannn21（其中p，q 均为常数），即二阶递推数列。 解法：先把原递推公式转化为asat asannnn211 其中s，t 满足stpstq ，再应用前面类型的方法求解。 例5．已知数列 an中，aaaaannn1221122313，，，求an 。 类型6：递推公式为Sn 与an 的关系式。 解法：利用aSnSSnnnn1112，，()() 进行求解。 例6．已知数列 an前 n 项和 Sannn4122 。 （1）求an1 与an 的关系； （2）求通项公式an 。 例7． 已知数列 an中，a11， 2 n 1123naa3a5a(2n1)a，求an 1:,( ,)nnapaqnp q类型7为常数 解法：使用待定系数法 设12[(1)]nnaCnDaC nD ( ,C D是常数) 122nnaaCnCD 例8．已知数列 an 中，a11，123 ,nnaan求na . 类型8：112130nnnnp ap aap a，（1p ，2p ，3p 均为常数） 解法：两边同除以1nna a ，构造数列1na 例9．各项均...