Inourclasses,allthemobilephonesshouldbeswitchedoff!上课啦！上课啦！Theclassisbegin!第三章环和域群是有一个代数运算的代数系统但是，我们在数学特别是在高等代数中，遇到过很重要的讨论对象，例如，数、多项式、函数以及矩阵和线性变换等，都有两个代数运算,这一事实说明，在近世代数中研究有两个代数运算的代数系统，也具有非常重要的现实意义。在有两个代数运算的代数系统中，最基本最重要的就是环与域。这一部分主要介绍环与域的定义和初步性质，以及一些常见的重要的环与域。第三章环与域第16讲§1环的定义与性质(2课时)本讲的教学目的和要求:本讲开始在群论的基础上讨论具有两个二元运算的代数体系—环的基本性质.环也是近世代数中一类重要的、基本的代数体系.由于它具有两个二元运算,所以不可避免地会涉及到在群论中没有接触的概念.在群的讨论中,无论在思考问题,提出问题的基本想法,还是在分析问题、解决问题的主要手法方面，对于近世代数来说，都具有普遍的典型的意义。可以说基本上体现了近世代数研究问题的格调与模式。这些对于环的讨论会有重要的启发和借鉴作用。本讲主要介绍环的概念—环的主要特性及它与群的联系和区别。在教学还将引出一批环的类别以及讨论环在两个运算方面所具有的基本性质。由于是刚刚引入一种新的代数体系，所以受到内容的限制，这一讲中不会碰到什么难点。但重点是要弄清楚环这种代数体系中两种运算的谐调关系。定义1设,,R是具有两个代数运算的代数体系，如果它满足,R(1)是一个加群；,R是一个半群；(2)一、环的定义及例子(3)R的乘法“·”对加法“+”满足左右分配律：()abcabac且().bcabaca,,abcR那么称,,R是一个环。在不产生混淆的前提下,可以记这个环为R.注意1：1、乘法的说明与群的运算类似,当进行乘法运算对时,乘法运算的符号通常省略不写.即将记作.2、分配律的说明这两个分配律分别称为左分配律与右分配律.3、上定义中说到};{R是加法交换群.意味着};{R满足群的四条,其中单位元为0—零元.Ra，a的逆元为-aa—的负元.而};{R是乘法半群,意味着R对”·”满足封闭和结合律.例1,,R中设Z为整数集,“+”和“·”为Z中通常的整数加法和乘法.易知,,R是一个环.——习惯上称它为整数环，记为Z.同理有理数集Q、实数集R对通常的数的加法和乘法构成环，分别称为有理数环和实数环，复数集C对通常的复数的加法和乘法构成环，称为复数环。我们通常把由数集构成的环称为数环.例2偶数集2{,6,4,2,0,2,4,6,}Z，对于整数通常的加法和乘法也是一个环.例3设[]{|,}ZiabiabZ,按数的通常的加法也构成一个环,叫做高斯数环.例4任取定一个数域F.由F上一切一元多项式组成的集合1110[]{|,,0}nnnniFxaxaxaxaaFnZn关于多项式通常的加法与乘法.也可构成一个环.这个环[],,Fx称为关于x的多项式环或一元多项式环.实际上，在例4中，若将数域F换成任一个数环,那么也能构成多项式环,譬如,取整数Z,则1110[]{|,,0}nnnniZxbxbxbxbbZnZn叫做整系数多项式环.例5取出数域F上的全部n阶方阵组成的集合,(){()|,1,}nijijMFAaaFijn关于矩阵的加法和乘法构成一个环,这个环(),,nMF叫做n阶全矩阵环,或称为n阶矩阵环.在例5中,若用数环替代数域F后,结果仍成立,譬如用偶数环替换F,得到(2){()|2,1,}nijijMZAaaZijn也是一个环.例6在第二章里,我们曾讨论模m的剩余类加群,mZ{[0],[1],,[1]}mZm.(其中加群mZ中的加法采用“钟表加法”).为使mZ做成为一个环,首先要对mZ再定义乘法“·”:[][][]ijij（1）显然,这里也采用了“钟表计数法”.试证明,,mZ是一个环.证（1）由第一章知，剩余类的加法是mZ的代数运算.由第二章知,mZ是加群.下面证明乘法“·”:[][][]ijij是mZ的代数运算.假设[],[]iijj，那么[[[],[][]iijj按照定义，有[][][]ijij（2）（1），（2）两式的左端是相等的，即[][]ij[][]ij.如果它们的右端不一样，就有[][]ij[][]ij...
