近世代数环同态的性质VIP免费

Inourclasses,allthemobilephonesshouldbeswitchedoff!上课啦！上课啦！Theclassisbegin!第三章环与域第19讲§4环的同态与同构本讲的教学目的和要求：本讲的内容出发点都是跟循群认的思略，环——子环的定义——子环的实例——环同态（尤其是环同态满射）——同态映射（满射）所能传递的代数性质和不能传递的代数性质。本讲中，要求能弄略和领会。（1）环同态与群同态的区别所在。（2）扩环与子环之间在单位元变换性，零因子和环的特殊性方面都具有“转变”的特点，这是与群截然不同的地方。（3）环同态映射（既使是环同态满射）也有一些性质不能传递过去。（4）环同构的应用——挖补定理。本讲的难点和重点：本讲涉及的内容较多，变化性较大，有一些困难之处。（1）环与子环之间的性质“变异”问题。（2）环同态的保性质问题。（3）挖补定理中“S视为R的子环”的不同意义。他们同态吗？一环同态定义定义1设是环,,R到环,,R的映射.如果.,Rba满足:,abababab则称是一个环同态映射.如果是满射(单射、双射),则称为环同态满射(环同态单射,环同构).特别是环同态满射时,则称R与R同态,记为R～R.说明：环同态是环之间保持运算的映射.如果为单映射,则称为单同态.如果为满映射,则称为满同态,记作,:'RR,并称R与'R同态.如果既是单映射又是满映射,则称为同构.同构是环之间的一个等价关系,且同构的环之间有完全相同的代数性质.定理3.4.1设,,R和,,R都是代数体系,如果是R到R的满射且有,,abR.由上定义可知,一个环同态映射就是分别对环的加法和乘法都满足“保运算”的性质.利用这一点,可以自然地得到:二、环同态的性质,abababab，则当,,R是环时,,,R也必是环.例1设1,,0abRabcZc,20,0aRacZc,则12,RR关于矩阵的加法和乘法都构成环.令12RR0:00abacc易证是由1R到2R的一个满同态，从而12~RR.例2若R是一个环，S为R的一个子环，则S到R的映射.:().sssSSR是由环到环的一个单同态定理3.4.2设R~R是环同态满射,那么①若RO是R中的零元，则RO必是R的零元.即.RROO②若1R是R的单位元，则1R必是R的单位元.即11RR.③负元的象必是象的负元,即.aa④若R可交换，则R也可交换.证明①,aR因是满射，所以aR使.aa于是因此RO是R中的零元.②,aRaR使.aaRRRROaOaOaO11,RRaaaa111.RRRaa而同理,③RRaaaaOO,④,abR,,abR使,aabb.同理,RaaO,所以aa.则abababbababa因此abba，故R是交换环.说明（1）设为环R到'R的同态,则()(()).nnaa证明由群同态的定义知,()()()()(()).nnaaaaaa（2）设为环R到'R的同态,称集合(){()0}keraRa为同态的核.例3一些常见的同态.(1)零同态::'RR,()0,a()kerR.(2)自然同态:设I是环R的理想,:RRaa自然同态为满同态,且().kerI(3)恒等同构::RRaa(){0}.ker例4设6:ZZ是环同态满射,其中:nn.在例3中，显然Z是整环.所以Z中没有零因子,但在6Z中,2和3、4都是零因子.即2显然不是Z中的零因子,但22却是6Z中的零因子.这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子.例5设(,),RababZ.在R中定义运算11221212,,,.ababaabb11221212,,,.ababaabb可以验证:R是一个环.现作一个对应::RZ,其中,,aba.则是一个环同态满射.由于0,0是R中的零元,当0a且0b时.有,00,0,0abR中有零因子.但显然Z中没有零因子.这表明...