公约数、公倍数问题,是指用求几个数的(最大)公约数或(最小)公倍数的方法来解答的应用题。这类题一般都没有直接指明是求公约数或公倍数,要通过对已知条件的仔细分析,才能发现解题方法。解答公约数或公倍数问题的关键是:从约数和倍数的意义入手来分析,把原题归结为求几个数的公约数问题。例如: 1、有一个长方体的木头,长3.25 米,宽1.75 米,厚0.75 米。如果把这块木头截成许多相等的小立方体,并使每个小立方体尽可能大,小立方体的棱长及个数各是多少? 解:根据题意,小立方体一条棱长应是长方体长、宽、厚各数的最大公约数。即:(325、175、75)=25(厘米) 因为325÷25=13 175÷25=7 75÷25=3 所以13×7×3=273(个) 答:能分为小立方体273 个,小立方体的每条棱长为25 厘米。 2、 有一个两位数,除 50 余 2,除 63 余 3,除 73 余 1。求这个两位数是 多少? 解:这个两位数除 50 余 2,则用他除 48(52-2)恰好整除。也就是说,这个两位数是48的约数。同理,这个两位数也是60、72 的约数。所以,这个两位数只可能是48、60、72 的公约数1、2、3、4、6、12,而满足条件的只有公约数12,即(48、60、72)=12。 答:这个两位数是12。 几个数公有的因数叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 应用最大公因数与最小公倍数方法求解的应用题,叫做公约数与公倍数问题。解题的关键是先求出几个数的最大公因数或最小公倍数,然后按题意解答要求的问题。 三、考点分析 最大公因数和最小公倍数的性质。 (1)两个数分别除以它们的最大公因数,所得的商一定是互质数。 (2)两个数的最大公因数的因数,都是这两个数的公因数, (3)两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 四、典型例题 例1、有三根铁丝,一根长18 米,一根长24 米,一根长30 米。现在要把它们截成同样长的小段。每段最长可以有几米?一共可以截成多少段? 分析与解: 截成的小段一定是18、24、30 的最大公因数。先求这三个数的最大公因数,再求一共可以截成多少段。 解答: (18、24、30)=6 (18+24+30)÷6=12 段 答:每段最长可以有6 米,一共可以截成12 段。 例2、一张长方形纸,长60 厘米,宽36 厘米,要把它截成同样大小的长方形,并使它们的面积尽可能大,截完后又正...