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专题研究球与几何体的切接问题专题要点(1)长方体的外接球:①球心:体对角线的交点;②半径:r=a2+b2+c22(a,b,c为长方体的长、宽、高).(2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球:①外接球:球心是正方体中心;半径r=32a(a为正方体的棱长);②内切球:球心是正方体中心;半径r=a2(a为正方体的棱长);③与各条棱都相切的球:球心是正方体中心;半径r=22a(a为正方体的棱长).(3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)①外接球:球心是正四面体的中心;半径r=64a(a为正四面体的棱长);②内切球:球心是正四面体的中心;半径r=612a(a为正四面体的棱长).专题讲解题型一几何体的外接球(微专题)微专题1:锥体的外接球(1)求棱长为1的正四面体外接球的体积为________.【解析】设SO1是正四面体S-ABC的高,外接球的球心O在SO1上,设外接球半径为R,AO1=r,则在△ABC中,用解直角三角形知识得r=33.从而SO1=SA2-AO12=1-13=23,在Rt△AOO1中,由勾股定理,得R2=(23-R)2+(33)2,解得R=64.∴V球=43πR3=43π(64)3=68π.【答案】68π(2)已知正四棱锥P-ABCD内接于一个半径为R的球,则正四棱锥P-ABCD体积的最大值是()A.16R381B.32R381C.64R381D.R3【解析】如图,记O为正四棱锥P-ABCD外接球的球心,O1为底面ABCD的中心,则P,O,O1三点共线,连接PO1,OA,O1A.设OO1=x,则O1A=R2-x2,AB=2·R2-x2,PO1=R+x,所以正四棱锥P-ABCD的体积V=13AB2×PO1=13×2(R2-x2)(R+x)=23(-x3-Rx2+R2x+R3),求导:V′=23(-3x2-2Rx+R2)=-23(x+R)(3x-R),当x=R3时,体积V有最大值6481R3,故选C.【答案】C★状元笔记★锥体的外接球问题关键是确定球心位置:(1)将锥体还原或补形为正方体或长方体,进而确定球心;(2)锥体的外接球球心一定在过底面的外心与底面垂直的直线上;(3)球心到各顶点的距离都相等;(4)球心一定在外接球的直径上!思考题1(1)(2018·江西宜春模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为()A.36πB.8πC.92πD.278π【解析】根据几何体的三视图,得该几何体是底面为等腰直角三角形、高为2的三棱锥,如图所示.该三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球.设外接球的半径为R, 底面是等腰直角三角形,∴底面外接圆的半径为1,∴R2=1+1=2,∴外接球的表面积是4πR2=8π,故选B.【答案】B(2)(2017·课标全国Ⅰ)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为________.【解析】设球O的半径为R, SC为球O的直径,∴点O为SC的中点,连接AO,OB, SA=AC,SB=BC,∴AO⊥SC,BO⊥SC, 平面SCA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,∴AO⊥平面SCB,所以VS-ABC=VA-SBC=13×S△SBC×AO=13×(12×SC×OB)×AO,即9=13×(12×2R×R)×R,解得R=3,∴球O的表面积为S=4πR2=4π×32=36π.【答案】36π微专题2:柱体的外接球(1)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为________.【解析】本题主要考查简单的组合体和球的表面积.画出球的轴截面可得,球的直径是正方体的对角线,所以球的半径R=332,则该球的表面积为S=4πR2=27π.故填27π.【答案】27π(2)(2017·长春模拟)已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为6的正三角形,侧棱垂直于底面,且该三棱柱的外接球的表面积为12π,则该三棱柱的体积为________.【解析】设球半径为R,上,下底面中心设为M,N,由题意,外接球球心为MN的中点,设为O,则OA=R,由4πR2=12π,得R=OA=3,又易得AM=2,由勾股定理可知,OM=1,所以MN=2,即棱柱的高h=2,所以该三棱柱的体积为34×(6)2×2=33.【答案】33★状元笔记★柱体的外接球问题,其解题关键在于确定球心在多面体中的位置,找到球的半径或直径与多面体相关元素之间的关系,结合原有多面体的特性求出球的半径,然后再利用球的表面积和体积公式进行正确计算.常见的方法是将多面体还原到正方体和长方体中再去求解.思考题2已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组...

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