球和几何体的切接问题专题研究VIP专享VIP免费

专题研究球与几何体的切接问题专题要点(1)长方体的外接球：①球心：体对角线的交点；②半径：r＝a2＋b2＋c22(a，b，c为长方体的长、宽、高)．(2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球：①外接球：球心是正方体中心；半径r＝32a(a为正方体的棱长)；②内切球：球心是正方体中心；半径r＝a2(a为正方体的棱长)；③与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝22a(a为正方体的棱长)．(3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)①外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝64a(a为正四面体的棱长)；②内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝612a(a为正四面体的棱长)．专题讲解题型一几何体的外接球(微专题)微专题1：锥体的外接球(1)求棱长为1的正四面体外接球的体积为________．【解析】设SO1是正四面体S－ABC的高，外接球的球心O在SO1上，设外接球半径为R，AO1＝r，则在△ABC中，用解直角三角形知识得r＝33.从而SO1＝SA2－AO12＝1－13＝23，在Rt△AOO1中，由勾股定理，得R2＝(23－R)2＋(33)2，解得R＝64.∴V球＝43πR3＝43π(64)3＝68π.【答案】68π(2)已知正四棱锥P－ABCD内接于一个半径为R的球，则正四棱锥P－ABCD体积的最大值是()A.16R381B.32R381C.64R381D．R3【解析】如图，记O为正四棱锥P－ABCD外接球的球心，O1为底面ABCD的中心，则P，O，O1三点共线，连接PO1，OA，O1A.设OO1＝x，则O1A＝R2－x2，AB＝2·R2－x2，PO1＝R＋x，所以正四棱锥P－ABCD的体积V＝13AB2×PO1＝13×2(R2－x2)(R＋x)＝23(－x3－Rx2＋R2x＋R3)，求导：V′＝23(－3x2－2Rx＋R2)＝－23(x＋R)(3x－R)，当x＝R3时，体积V有最大值6481R3，故选C.【答案】C★状元笔记★锥体的外接球问题关键是确定球心位置：(1)将锥体还原或补形为正方体或长方体，进而确定球心；(2)锥体的外接球球心一定在过底面的外心与底面垂直的直线上；(3)球心到各顶点的距离都相等；(4)球心一定在外接球的直径上！思考题1(1)(2018·江西宜春模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A．36πB．8πC.92πD.278π【解析】根据几何体的三视图，得该几何体是底面为等腰直角三角形、高为2的三棱锥，如图所示．该三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球．设外接球的半径为R， 底面是等腰直角三角形，∴底面外接圆的半径为1，∴R2＝1＋1＝2，∴外接球的表面积是4πR2＝8π，故选B.【答案】B(2)(2017·课标全国Ⅰ)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为________．【解析】设球O的半径为R， SC为球O的直径，∴点O为SC的中点，连接AO，OB， SA＝AC，SB＝BC，∴AO⊥SC，BO⊥SC， 平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，∴AO⊥平面SCB，所以VS－ABC＝VA－SBC＝13×S△SBC×AO＝13×(12×SC×OB)×AO，即9＝13×(12×2R×R)×R，解得R＝3，∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.【答案】36π微专题2：柱体的外接球(1)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．【解析】本题主要考查简单的组合体和球的表面积．画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以球的半径R＝332，则该球的表面积为S＝4πR2＝27π.故填27π.【答案】27π(2)(2017·长春模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为________．【解析】设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，由题意，外接球球心为MN的中点，设为O，则OA＝R，由4πR2＝12π，得R＝OA＝3，又易得AM＝2，由勾股定理可知，OM＝1，所以MN＝2，即棱柱的高h＝2，所以该三棱柱的体积为34×(6)2×2＝33.【答案】33★状元笔记★柱体的外接球问题，其解题关键在于确定球心在多面体中的位置，找到球的半径或直径与多面体相关元素之间的关系，结合原有多面体的特性求出球的半径，然后再利用球的表面积和体积公式进行正确计算．常见的方法是将多面体还原到正方体和长方体中再去求解．思考题2已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组...