西北工业大学2004 至 2005 学年第一学期线性代数考试试题（2004
11 ）一、填空( 每小题3 分共24 分) ：1 ．设为阶方阵，且，则_________
2 ．设方阵满足，则______
3 ．向量组，，，的秩为________ ，一个极大无关组为________________
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4 ．已知维向量构成的向量空间为则的维数________
5 ．设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，它的三个解向量满足，则该方程组的通解为____________________________
6 ． 已知是矩阵的一个特征向量，则____，且对应该特征向量的特征值为__________
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7 ．已知阶方阵的特征值为，则矩阵的特征值为________，且__________
8 ．当 满足___________ 时，二次型是正定的
二、(10 分) 计算阶行列式
三、(10 分) 设矩阵，且，其中是的伴随矩阵，求矩阵
四、 (5 分) 设为维向量组，又可由线性表示，不能由线性表示
证明：向量可由线性表示
五、(10 分) 设维向量空间的两个基和满足，，(1) 求由基到基的过渡矩阵；(2) 若向量在基下的坐标为，求在基下的坐标
六、(15 分)为何值时，线性方程组有惟一解、无解、无穷多解
在有无穷多解时，求通解
七、(5 分) 已知阶可逆矩阵的每行元素之和为，且
试求的一个特征值与对应的一个特征向量
八、(15 分) 已知二次型(1)为何值时，的秩为1 ；(2) 取，试求一正交变换 ( 用矩阵形式表示 ) ，化为标准形；(3) 指出时，表示何种二次曲面
九、(6 分) 设是阶正定矩阵，是阶实对称矩阵
证明：存在阶可逆矩阵，使与均为对角矩阵
