证明不等式的几种常用方法证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、 换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用．一、反证法如果从正面直接证明， 有些问题确实相当困难， 容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理．反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能， 则反证法都是不完全的．用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理， 导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B ，先假设 A≤B ，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B 不成立，而肯定 A＞B 成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、 “唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效．例 1 设 a、b、c、d 均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d ；②(a＋b)(c ＋d)＜ab ＋cd ；③(a＋b)cd ＜ab(c ＋d)中至少有一个不正确．反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d 都是正数，所以不等式①与不等式②相乘，得：(a＋b)2 ＜ab ＋cd ，④由不等式③得 (a＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤(2ba)2 · (c＋d)， a＋b＞0，∴ 4cd ＜(a＋b)(c＋d)，综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ，∴3cd ＜ab ，即 cd ＜31 ab ．由不等式④，得(a＋b)2 ＜ab＋cd ＜34 ab ，即 a2 ＋b2 ＜－32 ab ，显然矛盾．∴不等式①、②、③中至少有一个不正确．例2已知 a＋b＋c＞0，ab＋bc ＋ca＞0 ，abc ＞0 ，求证： a＞0，b＞0，c＞0 ．证明：反证法由 abc ＞0 知 a≠0，假设 a＜0，则 bc ＜0，又 a＋b＋c＞ 0，∴b＋c＞－ a＞0，即 a(b ＋c)＜0，从而 ab ＋bc＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾．∴假设不成立，从而a＞0，同理可证 b＞0，c＞0．例3若 p＞0，q＞0，p3＋q3 = 2 ，求证： p＋q≤2．证明：反证法假设 p＋q＞2，则 (p＋q)3 ＞8，即 p3 ＋q3＋3pq (p ＋q)＞8， p3 ＋q3 =...
