行列式按行列展开定理VIP免费

1§1.3行列式按行(列)展开定理一.按一行(列)展开行列式二.行列式按某k行(列)展开三.小结与思考题2111213212223313233aaaaaaaaa22232123111232333133aaaaaaaaaa可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式来计算.问题：一个n阶行列式是否可以转化为若干个n-1阶行列式来计算？一.按一行(列)展开行列式2122133132aaaaa3定义1.5在n阶行列式中,把元素ija所在的第i行和余子式.记为.ijM称1ijijijAM为元素的代数余子式.例如11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa第j列划去后,余下的n-1阶行列式叫做元素ija的ija11121423313234414244aaaMaaaaaa42323231AM23M11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa的余子式.23a的代数余子式.23a521232412313334414344aaaMaaaaaa1212121AM12M11121344212223313233aaaMaaaaaa444444441AMM注行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.6引理若在n阶行列式D的第i行中有一个元素aij≠0,其余元素全为零,则D=aijAij.定理1.4设n阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa则n阶行列式D的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.即71122iiiiininDaAaAaA1,2,,in证(只证按行展开第一式)将行列式D改写为111211212000000niiinnnnnaaaaaaDaaaD=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj(j=1,2,…,n)或8由行列式性质2及引理，得11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaa=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin.(i=1,2,…,n)同理可证按列展开式成立.911141003102(1)0104(1)501232023D解按第一行展开,得()22461588例1计算行列式20043100.50100232D10推论n阶行列式D的任意一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积的和等于零.即11220,.kikikninaAaAaAki11220,.kikinkniaAaAaAki证由定理1,行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.1111121121212niiinkkknnnnnaaaaaaDaaaaaa在行列式中,如果令第i行的元素等于另外一行,譬如第k行的元素．11121121212nkkknkkknnnnnaaaaaaaaaaaa12则1122kikikninaAaAaA行列式含有两个相同的行,值为0.13综上所述,得公式1122kikikninaAaAaA,0Dkiki（当），（当）1122ljljnlnjaAaAaA,0Dljlj（当），（当）注在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式并不一定简化计算,因为把一个n阶行列式换成n个(n－1)阶行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时,应用展开定理才有意义，但展开定理在理论上是重要的．14利用行列式按行按列展开定理,并结合行列式性质,可简化行列式计算：计算行列式时,可先用行列式的性质将某一行(列)化为仅含1个非零元素,再按此行(列)展开,变为低一阶的行列式,如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式.例2计算行列式31125134.20111533D15解3112513420111533D51111113100105530132cc43cc1633511(1)11115505116205501362(1)5582054021rr17例3计算n阶行列式1221100001000000.0001nnnxxxDxaaaaxa18解将Dn按第一列展开1221100000001nnnxxDxxaaaax11000100(1)000001nnxaxx于是,得递推公式1nnnDxDa而由递推公式,得121nnnDxDa继续递推公式,得11Dxa故22121()nnnnnnnDxxDaaxDaxa192341234()nnnnxxDaaxaxa1212nnnnxaxaxa例4证明范德蒙(Vandermonde)行列式1()(5)ijnijxx122221211112111nnnnnnnxxxxxx...