泛函分析知识点 知识体系概述 （一）、度量空间和赋范线性空间 第一节 度量空间的进一步例子 1.距离空间的定义：设X 是非空集合，若存在一个映射d：X×X→R，使得 x,y,z X,下列距离公理成立： （1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0 x=y; （2）对称性：d(x,y)=d(y,x); （3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y); 则称 d(x,y)为 x 与 y 的距离，X 为以 d 为距离的距离空间，记作（X，d） 2.几类空间 例1 离散的度量空间 例2 序列空间S 例3 有界函数空间B(A) 例4 可测函数空M(X) 例5 C[a,b]空间 即连续函数空间 例6 l2 第二节 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 1 . 开球 定义 设（X,d）为度量空间，d 是距离，定义 U(x0, )＝{x ∈X | d(x, x0) < } 为 x0 的以 为半径的开球，亦称为 x0 的 一领域. 2 . 极限 定义 若{xn } X, xX, s.t. lim,0nnd x x 则称 x 是点列{xn }的极限. 3 . 有界集 定义 若 ,sup,x y Ad Ad x y ，则称 A 有界 4 . 稠密集 定义 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令 M 表示 M 的闭包，如果 EM,那么称集M 在集E 中稠密，当 E=X 时称 M 为 X 的一个稠密集。 5 . 可分空间 定义 如果 X 有一个可数的稠密子集，则称 X 是可分空间。 第三节 连续映射 1.定义 设X=(X,d),Y=(Y, ~d )是两个度量空间，T 是X 到 Y 中映射，x0X,如果对于任意给定的正数 ，存在正数0 ，使对 X 中一切满足 0,d x x 的x，有 ~0,d Tx Tx， 则称T 在0x 连续. 2.定理1 设T 是度量空间（X,d）到度量空间~Y,d中的映射，那么T 在0xX连续的充要条件为当 0nxxn 时，必有0nTxTxn 3.定理2 度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像1T M是X 中的开集. 第四节 柯西（cauchy）点列和完备度量空间 1.定义 设X=(X,d)是度量空间， nx是X 中点列，如果对任意给定的正数0 ，存在正整数 NN ,使当n,m>N 时，必有 ,nmd x x， 则称 nx是X 中的柯西点列或基本点列。如果度量空间（X,d）中每个柯西点列都在 （X,d）中收敛，那么称（X,d）是完备的度量空间. 【注意】（1）Q 不是完备集 （2）nR 完备 ...
