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一、选择题（ 本题共 5 小题 , 每小题 3 分，共 15 分)( 从下列备选答案中选择正确答案) 1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（）。(A) ｛1，－ 1，i ,－i｝(B) ｛ 1，－ 1｝(C) ｛1，－ 1， i｝2、设 H 是群 Ｇ的子群， a，b∈Ｇ，则 aH = bH 的充要条件是（）。(A) a－1b－1∈H(B) a－ 1b∈H(C) ab－1∈H3、在模 6 的剩余类环Z6 中， Z6 的极大理想是 ( )。(A) （ 2 ），（ 3 ）(B) （ 2 ）(C)（ 3 ）4、若 Q 是有理数域 , 则(Q(2 ):Q)是( )。(A) 6 (B) 3 (C) 2 5、下列不成立的命题是( )。(A)欧氏环是主理想环(B) 整环是唯一分解环(C)主理想环是唯一分解环二、填空题 （本题共 5 空，每空 3 分，共 15 分）（请将正确答案填入空格内）1、R 为整环， a，b∈R ，b|a，则（ b）（a）。2、F 是域，则[ ]( ( ))F xf x是域当且仅当。3、域 F 上的所有 n 阶方阵的集合M n (F)中，规定等价关系~:A～B秩( A)= 秩(B) ，则这个等价关系决定的等价类有________个。4、6 次对称群 S 6 中, (1235)1 (36)=____________。5、12 的剩余类环Z12 的可逆元是。三、判断题（ 本题共 5 小题 , 每小题 2 分，共 10 分）（请在你认为正确的题后括号内打“√”，错误的打“×” ）1、设 G 是群，≠H，若对任意 a,b∈H 可推出 ab∈H，则 H≤G..（）2、群 G 中的元,a b ， ( )2, ( )7,ababba , 则 ()14ab。 ( ) 本题得分本题得分本题得分3、商环6ZZ是一个域。（）4、设 f 是群 G 到群 G 的同态映射，若1()fHG ， 则 HG 。 （）5、任意群都同构于一个变换群。（）四、计算题 （本题共 2 小题 , 每小题 10 分，共 20 分）（要求写出主要计算步骤及结果）1、找出6Z 的全部理想，并指出哪些是极大理想。对极大理想K , 写出6ZK的全部元。2、确定 3 次对称群 S3 的所有子群及所有正规子群。五、证明题 （本题共 4 小题 , 每小题 10 分，共 40 分）1、设 f 是群 G 到群 G 的满同态，N 是 G 的正规子群，证明：GKerfNGNf)(。2、设 N G, [G:N] =2008, 证明：对Gx, 恒有2008xN 。3、设 R 为交换环，若R 的理想 P≠R, 则 R／P 是整环当且仅当P 是素理想。4、设 R[ x]是实数域 R 上的一元多项式环，取21[ ]xR x ，证明：2[ ](1)R xCx，C 为复数域。《近世代数》测试题（...