近世代数复习提纲群论部分一、基本概念1、群的定义（四个等价定义）2、基本性质（1）单位元的唯一性；（2）逆元的唯一性；（3）11111(),()abb aaa ；（4） abacbc；（5）1axbxa b ；1yabyba。3、元素的阶使mae成立的最小正整数m 叫做元素 a 的阶，记作 ||am ；若这样的正整数不存在，则称 a 的阶是无限的，记作 ||a。（1）11| ,|| || ()|| |agaggGaa。（2）若mae，则①||am；②||am由nae可得|m n。（3）当群 G 是有限群时，aG ，有 ||a且 || ||aG 。（4）||||rnanad，其中( ,)drn 。证明设|||rak 。因为 ()()nrrnddaae，所以nkd。另一方面，因为()rkrkaae ，所以 n rk ，从而 nr kdd，又 (,)1rndd，所以 n kd，故nkd。注： 1|| ||||abab ，但若 abba ，且 (|| , ||)1ab，则 有 || ||||abab（P70.3）。2||,||GaGa；但,||||aGaG。例 1 令{|,1}nGaCnZa，则 G 关于普通乘法作成群。显然，1是 G 的单位元，所以aG ，有 ||a，但 ||G。二、群的几种基本类型1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。3、变换群：集合 A 上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合A上的变换群。（1）变换群的单位元是A 的恒等变换。（2） A 的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成A 上最大的变换群。（3）一般地，变换群不是交换群。（4）任一个群都与一个变换群同构。4、置换群：有限集合A 上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。例 2 设(123) ,(13)(24) 是5S 中元素，求。解12 3 4 512 3 4512 3 4 512 3 4 5(123)(13)(24)(142)2 314 53 214 514 3 2 5413 2 5（1） n 元集合 A 的所有置换作成的置换群，叫做n 次对称群，记作nS 。（2）||!nSn 。（3）每个 n 元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。（4）11 22 1()()kki iiii iLL。（5）任一有限群都与一个置换群同构。5、循环群：若群 G 中存在元素 a ，使得( ){|}nGaanZ ，则称 G 是循环群。（1）循环群是交换群（ P61.1）。（2）素数阶群是循环群（ P70.1）。（3）循环群的子群是循环群（P65.4）。（4）当 ||G时，2102{,,,,,,}GZGaaeaaaLL；当 ||Gn时，021{,,,,}nnGZGeaaaaL。（5）|| ||Ga（6）当 ||G时， G 有且仅有两个生成元1,aa；当||Gn 时， G 有且...
