第一章小结本章主要研究群的有关问题：定义性质、子群及不变子群、三类重要的群——变换群、置换群、循环群、同态与同构，主要内容有：一、基本概念子集 -- 相等集合交集集合集合运算并集积集（笛卡儿积）单射映射满射预备知识双射映射变换代数运算等价关系与分类),,,,)Abela bGabbaa bGabbaGGnGGn交换群（阿贝尔群（有）非交换群（，使群定义有限群— 阶无限群— 阶子群子群 正规子群群陪集 -- 商群变换群 —— 由一个非空集合的若干一一变换构成的群三种重要群置换群 —— 由 元有限集合的若干一一变换（置换）构成的群循环群 —— 每个元素都是某个元的幂同态存在保运算的映射两个群的关系同构存在 保运算的一一映射单位元、逆元、元素的阶、子群在群中的指数. 二、主要结论1. 群的基本性质： 1 ）—— 5），定理 1.2.1 ，1.2.2 ；2. 元素阶的性质：定理1.2.3---1.2.43．子群的判别条件（重点）为群的非空子集 . 则为的子群的充分必要条件是: (1) 任给, 有，任给, 有. （2）任给, 有. （3）任给, 有（只适合有限子集）子群的性质： 子群的交集仍是子群4．陪集、商群性质设是的子群 , 则（ 1）aH=Ha=H当且仅当 a ∈H （ 2）当且仅当, ; （3）当且仅当, ; （4）的任何两个左 (右)陪集或者完全相同, 或者无公共元素. 因此可以表示成一些不相交的左(右)陪集之并 . （5）(拉格朗日定理 ) 有限群的任一子群的阶数是群的阶数的因子 .且|G|=|H|[G ：H] （6）有限群的任一元素a 的阶都是群的阶数的因子 .即|a|||G| （7）设为有限群 . , 则对任意的, . 5. 正规 （不变） 子群的判别条件N是群的子群，则N是 G的不变子群的充要条件是（ 1）任意的, 都有 aN=Na （2）, ; （3）, , . 6. 变换群、置换群、循环群的结论（1） 一个集合 A 的所有一一变换作成一个变换群。(2)( 凯莱定理 ) 任一群都同构于一个变换群. 推论： 任一个有限群都同构于一个置换群. (3)个元素的全体置换 关于置换的乘法构成群 . (4)每一置换可唯一表为若干个不相交轮换( 循环置换 )的乘积(5)每一循环置换都可以表为若干个对换的乘积. (6)每一置换都可表为若干个对换的乘积 (7)设为群, , 则|a|=|a -1| （8）设为群, ,ΙaΙ=n 且, 则. （9）设为群, , 如果 |a|=n, 则|ar|=n/d (d=(r,n)) （10） 设为阶循环群 , . 则为的生成元的充分必要条件是（11） 循环群必是交换...
