雪花曲线中的科克数学问题

雪花曲线中的科克数学问题（ i ）将正三角形（1）的每边三等分，并以中间的那一条线段为以底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图（2）；（ ii ）将图（ 2）的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图（3）；（ iii ）再按上述方法无限多次继续作下去，所得的曲线称为科克雪花曲线（koch snowflake ）· · · · ·（1）（2）（3）（4）（5）设图（ 1）中的等边三角形的边长为1，并分别将图（1）、（2）、（3）· · · 中的图形依次记作1M 、2M、3M 、· · · 。（ 1）求nM中的边长nN ；（ 2）求nM中每条边的长度nT ；（ 3）求nM的周长nL ；（ 4）求nM所围成的面积nS ；（ 5）求周长和面积的极限。解：从科克雪花曲线的生成过程不难发现：（ 1）因为每个圆形中的一条线段在后一个圆形中变成四条线段，所以nN 的递推公式为1143{nnNNN，2n，其通项公式为13 4nnN（ 2）因为圆形中的每条线段长度在后一个圆形中变为原长的13，所以nT 的递推公式为11131,{(2)nnTTTn。其通项公式为113nnT。（ 3）因为nnnLNT ，所以nL 的通项公式为1433nnL。（ 4）为了便于表述，将图形（1）中的正三角形的面积记作1A 则134A。当由1nM生成nM时，在1nM的每一条边上多了一个面积为21nT A 的小等边三角形，这些小等边三角形的面积之和为211nnNT A ，其中1A 的面积为34。于是得到科克雪花曲线面积的递推公式：2111nnnnAANT A22221111nnnnnANTANT A· · ·2221122311nnAN TN TNTL. 把111113,1,,3 4,23nnnnNTTNn代入上式，经简化得2113444443999nnAAL21134441149993nAL1394114593nA123 3435209n容易验证：1233,43AA等。（ 5）由周长nL 和面积nA 的表达式可知1433nnL。当 n 无限增大时，也随之无限增大。因为14lim09nn，所以1123 342 33 342 3limlim3lim520952095nnnnnnA注释 :科克雪花曲线图形与高中二年级的数列知识联系起来，不仅运用了数学数列的递推公式，还涉及到一定的递推思想，找到一定的规律并解出问题。此外，科克雪花曲线图形与新兴的分形几何有一定的联系，分形几何中最典型的例子就是“英吉利亚海岸线有多长？”的提出， 随之，分形几何这个名词诞生。根据分形几何的原理，用有足够精度的尺子去度量海岸线的长度，那么只要尺子的精度足够小，海岸线的周长就可以无限的长。也就是说， 海岸线的面积有上限，而它的周长却可以无限的长。这里，科克雪花曲线图形就是这样，将其边长无限...