2018常微分方程考研复试真题及答案

常微分方程计算题2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由；d 2udu2（1）t+t+( t -1)u=02dtdt2dy22=x +y ;dxdyy（3）+2 =0dxx（2）3.求曲线族 y=C1e +C 2x e x 所满足的微分方程4．验证函数 y= C1e 2x+ C 2xe 2x 是微分方程 y -4y=0 的解，进一步验证它是通解。``5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程 dy=2xdx6.什么叫积分一个微分方程？7．什么是求解常微分方程的初等积分法？8．分离变量一阶方程的特征是什么？9．求下列方程的通解（1）y `＝sinxx 2 y 2 y `+1=ytgx（2）（3）dy=1+ydx（4）dy=exp(2x-y)dxdyy 21=（5）2dx（6） x ydx=(1- y +x- x222222y )dx2（7）( x +1)( y -1)dx+xydy=010.叙述齐次函数的定义11．试给出一阶方程 y ＝f(x,y)或 p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0 为齐次方程的特征。说明二个方程的关系。12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何？13．求解下列方程`2xydy＝22dxx  y14．求解下列方程（1）（x+2y）dx—xdy=0(2) dyyx=+dxx2yxydy=2dxx  y 215.16(x 2 +y 2 )dx—2xydy=017. dy2y  x  4=dx2x  y  518―――――1920―――――――2728――――3738――――4445――――4950――――5657――――6263――――6869―――7172――――8182――――8788――――9293――――9495――――9798――――100101――――105106――――113114――――1222（1）未知函数 u 的导数最高阶为 2，u `` ,u `,u 均为一次，所以它是二阶线性方程。（2）为 y 最高阶导数为 1，而 y 为二次，故它是一阶非线性常微分方程。（3）果 y 是未知函数，它是一阶线性方程；如果将 x 看着未知函数，它是一阶非线性方程。3. 提示：所满足的方程为 y －2 y +y=04． 直接代入方程，并计算 Jacobi 行列式。5.方程变形为 dy=2xdx=d(x ),故 y= x +C6. 微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微分方程的解又称为（一个）积分。7． 把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。8． y ＝f(x,y)主要特征是 f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一因式仅...