第52讲空间角及其计算1．理解两异面直线所成角、直线与平面所成角及二面角的平面角的概念．3．会解决一些关于异面直线所成角、线面角及二面角的简单问题．1．两条异面直线所成的角过空间一点分别引两条异面直线的直线，那么这两条相交直线所成的叫作这两条异面直线所成的角，若记这个角为θ，则θ∈.当两条异面直线所成的角为时，这两条异面直线互相垂直．任意平行锐角或直角(0°，90°]90°2．直线与平面所成的角(1)射影自一点P向平面α引垂线，垂足P′叫作点P在平面α内的(简称)．PP′的长度称为点P到平面α的.图形F上所有点在平面α上的射影构成的图形F′，叫作图形F在平面α上的.(2)平面的斜线如果一条直线m与平面α但不和这个平面，则直线m叫作平面α的斜线，交点称为.正射影距离射影射影相交垂直斜足(3)直线与平面所成的角平面α的一条斜线PA和它在平面α上的所成的锐角，叫作斜线与平面所成的角；平面的垂线与平面所成的角为；直线在平面内或直线与平面平行，此直线与平面所成的角为.记任一直线与平面所成的角为θ，则θ∈.射影OA90°0°[0°，90°]3．二面角从一条直线l出发的两个半平面(α和β)所组成的图形叫作.记作二面角αlβ，l叫作二面角的，两个半平面(α和β)叫作二面角的.二面角的平面角：在二面角的棱AB上任取一点O，过O分别在二面角的两个面α，β内作与棱垂直的射线OA，OB，我们把叫作二面角αlβ的平面角，用它来度量二面角的大小．二面角θ的取值范围为θ∈.平面角是直角的二面角叫作.二面角棱面∠AOB[0°，180°]直二面角1．在三棱锥ABCD中，E、F、G分别是AB、AC、BD的中点，若AD与BC所成的角为60°，那么∠FEG为()A．30°B．60°C．120°D．60°或120°解：∠FEG为两异面直线AD与BC所成的角或其补角．答案：D2．正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为.解：平移EF到AD1，则∠AD1B1为异面直线EF与B1D1所成的角或其补角，易知△AB1D1为正三角形，所以∠AD1B1＝60°，所以EF与B1D1所成的角为60°.答案：60°3．过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC.(1)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是三角形AB边的．(2)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的．(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的．答案：中点外心垂心4．如图，棱长都为a的正四棱锥中．(1)侧棱与底面所成的角为；(2)侧面与底面所成的锐二面角的平面角的正弦值为.解：(1)此正棱锥的高为22a，故侧棱与底面所成的角为45°.(2)设侧面与底面所成的角为α，则sinα＝22a32a＝63.答案:45°635．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中．(1)B1B与平面A1BC1所成的角的余弦值为；(2)二面角D1BCA的大小为.解：(1)三棱锥B1A1BC1为正三棱锥，设B1B与平面A1BC1所成的角为θ，则cosθ＝23×32×21＝63.(2)二面角D1BCA的平面角为∠D1CD，其大小为45°.答案：6345°异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角的平面角考点一·异面直线所成的角【例1】(2016·新课标卷Ⅰ)平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD＝m,α∩平面ABB1A1＝n,则m,n所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13解：(方法一)根据平面与平面平行的性质,将m,n所成的角转化为平面CB1D1与平面A1B1C1D1的交线及平面CB1D1与平面DCC1D1的交线所成的角.设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.因为平面α∥平面CB1D1,所以m1∥m.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1,所以B1D1∥m1.所以B1D1∥m.因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1,且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1,同理可证CD1∥n.因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角.在正方体ABCDA1B1C1D1中,△CB1D1是正三角形,故直线B1D1与CD1所成角为60°,其正弦值为32.解：(方法二)正方体ABCDA1B1C1D1的下方补两个相同的正方体,如图.因为AR∥B1D1,AR⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,所以AR∥平面CB1D1.同理AF∥平面CB1D1,又AR∩AF＝A,AR⊂平面ARF,AF⊂平面ARF,所以平面ARF∥平面B1CD1,由题意可得AR,AF分别为m,n.故m,n所成的角即为B1D1,D1C所成的角,其角度为60°.故m,n所成角的正弦值为32.答案：A点评：求异面直线所成的角常采用“平移线段法...
