第三节 三重积分

第三节三重积分㈠本课的基本要求理解三重积分的概念，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)㈡本课的重点、难点三重积分在直角坐标、柱面坐标中的计算为本课的重点、球面坐标中的计算为难点㈢教学内容一．三重积分的概念定积分及二重积分作为和的极限的概念，可以很自然地推广到三重积分。定义设 f(x,y,z)是空间有界区域 Q 上的有界函数。将 Q 任意分成 n 个小闭区域Av,Av，…,Av，其中 Av 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积。在每个 Av 上任取一点12nii(g.,n.,匚.)，作乘积 f(g.，n.，匚)Av(i 二 1,2,…,n)，并作和丫 f(g.,n.,匚,)Av。如果当iiiiiiiiiiii=1各小闭区域直径中的最大值入趋于零时这和的极限总存在，则称此极限为函数 f(X,y,z)在闭区域 Q 上的三重积分。记作 JUf(x,y,z)dv，即QJUf(x,y,z)dv=lim 工 f(g，耳，匚)Av(1)iiiiQ九 TOi—1其中 dv 叫做体积元素。在直角坐标系中，有 dv=dxdydz，称 dxdydz 叫做直角坐标系中的体积元素。当函数 f(x,y,z)在闭区域 Q 上连续时，⑴式右端的和的极限必定存在，也就是函数f(x,y,z)在闭区域 Q 上的三重积分必定存在。以后我们总假定函数 f(x,y,z)在闭区域 Q上是连续的。关于二重积分的一些术语也可相应地用到三重积分上。三重积分的性质也与二重积分的性质类似，请同学们自己对比写出。如果 f(x,y,z)表示某物体在点(x,y,z)处的密度，Q 是该物体所占有的空间闭区域，f(x,y,z)在 Q 上连续，则三重积分 B!f(x,y,z)dv 表示该物体的质量 M。二．三重积分的计算计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次积分来计算。下面按利用不同的坐标来分别讨论将三重积分化为三次积分的方法，且只限于叙述方法。1．利用直角坐标计算三重积分我们三重积分的物理意义为例，通过非均匀空间几何体质量的计算，进一步给出三重积分计算的一般方法。设有一几何体占据空间区域 Q,其上任一点 M(x,y,z)处的体密度为 P=P(x,y,z)，并且p(x,y,z)在 Q 上连续。于是，由三重积分的定义可知，此几何体的质量可表示为BJp(x,y,z)dv为便于计算，我们假设积分区域 Q 如图所示，它在 xoy 平面上的投影区域为 D。xy过 D 的边界曲线作母线平行于 z 轴的柱面，它将空间区域 Q 的边界曲面分成上、xy下两部分 S 和 S，其方程依次为 S:z=z(x,y),S:z=z(x,y)，于是，Q 可表示为 2122110 二｛(x,y,z)1z(x,y)