勒贝格积分与黎曼积分的比较(10 页)Good is good, but better carries it
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Lebesgue 积分与 Riemann 积分的比较20251000449 陈佳龙 20251003908 王珏 20251000194 杜腾飞关键词： 黎曼积分，勒贝格可测函数，勒贝格积分，示性函数，连续函数，测度论，几乎处处，零测集
正文 一：黎曼积分与勒贝格积分定义比较 R 积分创立于 19 世纪中叶，近半个世纪之后的 1902 年法国数学家勒贝格创立了勒贝格积分
其初衷是试图寻找解决诸如量子物理中的物理量与一般随机量的数学期望值等课题
事实上运用 L 积分可以解决包括古典物理问题之外的更一般的问题
基于勒贝格测度论定义的勒贝格积分对函数的限制更加宽泛，已经跳出了定义于 R 上有界函数的范畴而上升到了广义可测实函数，因而其讨论范围也由 R 上有界闭区间延伸到了整个的有界可测集 E，进而借助示性函数我们可以将 L 积分定义在整个空间
这种优越性是基于测度论与可测函数相关理论而在其定义上便已显现出来了
为更好地说明L 积分与 R 积分的异同，我们有必要将 R 积分的定义在此描述
R 积分是这样定义的： 定义 设函数在区间上有定义，用分点将区间分成个小区间
令表示一切小区间长度中的最大者，即
在每个小区间摘要 我们知道，当涉及到某种物理量“累积”的时候，我们会立即想到 Riemann 积分
它处理的模型有着“基本”连续的特点，事实上，连续我们已做了推广
即限制在集合上连续的概念
如 Delet 函数是间断的，但限制在无理点集或有理点集合是连续的
在经典物理学中，我们要处理的问题数学化后大多为连续或者间断点不太多的情形
随着量子物理的进展，所遇到的问题显然以不能够用 R 积分解决，在此背景下 Lebesgue 积分得以迅速进展，俨然已进展为当代分析
