勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别(8页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别摘 要本文讨论勒贝格积分是与黎曼积分的联系与区别，勒贝格积分和黎曼积分积分之间有一种相依赖、相互补充、相互帮助及在特定条件下相互转化的关系，勒贝格积分在积分与极限换序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处。在实变函数里引入勒贝格积分是为了弥补黎曼积分的不足，可以扩大可积函数类，降低逐项积分与交换积分顺序的条件。勒贝格积分拓广了黎曼积分的定义,使得可积性的条件要求减弱了。它断言可测集上的有界可测函数和单调函数必勒贝格可积,这比黎曼积分中要求连续函数、单调函数的条件放松多了。它放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强的要求。关键词：勒贝格可 黎曼可积 勒贝格积分 黎曼积分1、定义1.1 黎曼积分定义设在上有定义1）分割分划，将添加 n-1 个分点 T：将分成 n个小区间 2）取近似3）4）取极限令—T 的细度，若存在 1.2 勒贝格积分定义 设在有限可测集 E 上有界1）为 E 的 n 个互相不相交的可测子集且称为 E 的一个 L-分划2）设，均为 E 的一个 L-分划，若对存在称细（的加细）3）设为 E 的一个 L-分划，称 在划分 D 下的小和 在划分 D 下的大和 2 黎曼积分和勒贝格积分的联系对于定义在上的函数，假如它是黎曼可积的，则它勒贝格可积的，而且有相同的积分值，故我们平常解题算勒贝格积分时，一般先考虑该函数是否黎曼可积，假如可以，那么就先化为黎曼积分求解，因为我们在学数分时，已经熟悉了黎曼积分。对于无界函数的积分或函数在无穷区间上的积分，黎曼积分是作为广义积分来定义的，这时要求是单调增加的可测集合列，其并为 E，若极限存在，则在E 上勒贝格可积，且有=当是矩体且在每个上都是有界连续函数，同时满足<时，可以通过计算黎曼积分而得到勒贝格积分=而且计算方法与的选择没有关系，只需保证单调增加到并集 E。例 1：设是区间上的有界单调函数，的不连续点至多是可列集，因此在上是几乎处处连续的，又因为在上是有界的，在上是黎曼可积的，所以也是勒贝格可积。但是，必须指出，具有广义黎曼积分的函数并不一定勒贝格可积。例 2：设=，在数分中，在上的广义黎曼积分收敛的，但不是绝对收敛的而在上不是勒贝格可积的平常我们在解勒贝格积分时，有很多可以先化为求黎曼积分，下面我们看看几个例子。例 3：计算=在上的...
