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专题61椭圆的几何性质原卷版

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专题 61椭圆的几何性质专题知识梳理1.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2y2+=1(a>b>0)a2b2y2x2+=1(a>b>0)a2b2图形范围对称性-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a既是轴对称图形又是中心对称图形.对称轴:坐标轴;对称中心:原点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)顶点轴焦距离心率a,b,c 的关系准线方程2.直线与椭圆的位置关系的判断长轴 A1A2 的长为 2a,短轴 B1B2 的长为 2bF1F2=2cce= ∈(0,1)ac2=a2-b2a2x=± ca2y=± c将直线方程与椭圆方程联立,消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元二次方程 ax2+bx+c=0(或 ay2+by+c=0).可考虑一元二次方程的判别式 Δ,有:①Δ>0⇔直线与椭圆相交;②Δ=0⇔直线与椭圆相切;③Δ<0⇔直线与椭圆相离.3.设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2](k 为直线斜率)或11(1+ 2)[(y1+y2)2-4y1y2](k 为直线斜率).k考点探究考向 1求椭圆离心率的值x2y2【例】(1)如图,已知 F1,F2 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF2与圆abx2+y2=b2 相切于点 Q,且点 Q 为线段 PF2 的中点,则椭圆 C 的离心率为____.x2y2(2)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点,A,B 分别为 C 的左、右顶点.P 为 C 上ab一点,且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则C 的离心率为____.题组训练x2y21.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A,B1,B2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右、下、上顶点,abF 是椭圆 C 的右焦点.若 B2F⊥AB1,则椭圆 C 的离心率是____.x2y22.过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点 A 且斜率为 1 的直线与椭圆的另一个交点为 M,与 y 轴的交点为 B,若abAM=MB,则该椭圆的离心率为____.2x2y23.已知椭圆 C: 2+ 2=1,(a>b>0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx-ayab+2ab=0 相切,则 C 的离心率为____.4.以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点,并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________.x2y25.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点为 A,左焦点为 F,上顶点为 B,ab若∠BAO+∠BFO=90...

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