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特征根法 1、设已知数列}{na的项满足dcaabann11,,其中 ,1,0  cc求这个数列的通项公式。作出一个方程,dcxx则当10ax时，na为常数列，即0101,;xbaaxaannn时当，其中}{nb是以c 为公比的等比数列，即01111,xabcbbnn. 例19．已知数列}{na满足：,4,N,23111anaann求.na 解：作方程.23,2310xxx则当41 a时，.21123,1101abxa 数列 }{nb是以31为公比的等比数列.于是.N,)31(2112323,)31(211)31(1111nbabbnnnnnn 2 、对于由递推公式nnnqapaa12，21, aa给出的数列 na，方程02qpxx，叫做数列 na的特征方程。若21 , xx是特征方程的两个根，当21xx 时，数列 na的通项为1211 nnnBxAxa，其中A，B 由21, aa决定（即把2121,,,xxaa和2,1n，代入1211 nnnBxAxa，得到关于A、B 的方程组）；当21xx时，数列 na的通项为11)(nnxBnAa，其中A，B 由21, aa决定（即把2121,,,xxaa和2,1n，代入11)(nnxBnAa，得到关于A、B 的方程组）。 例20：已知数列 na满足),0(0253,,1221Nnnaaabaaannn，求数列 na的通项公式。 解法一（待定系数——迭加法） 由025312nnnaaa，得)(32112nnnnaaaa，且abaa12。 则数列nnaa1是以ab 为首项，32 为公比的等比数列，于是 11)32)((nnnabaa。把nn,,3,2,1代入，得abaa12， )32()(23abaa，234)32()(abaa，21)32)((nnnabaa。 把以上各式相加，得])32()32(321)[(21nnabaa)(321)32(11abn。 abbaaabannn23)32)((3)]()32(33[11。 解法二（特征根法）：数列 na：),0(025312Nnnaaannn， baaa21,的特征方程是：02532xx。 32,121xx,1211 nnnBxAxa1)32(nBA。 又由baaa21,，于是)(32332baBabABAbBAa 故1)32)((323nnbaaba 3、如果数列}{na满足下列条件：已知1a 的值且对于Nn，都有hraqpaannn1（其中 p、q、r、h 均为常数，且rharqrph1,0,），那么，可作特征方程hrxqpxx,当特征方程有且仅有一根0x...