特征根法 1、设已知数列}{na的项满足dcaabann11,,其中 ,1,0 cc求这个数列的通项公式。作出一个方程,dcxx则当10ax时,na为常数列,即0101,;xbaaxaannn时当,其中}{nb是以c 为公比的等比数列,即01111,xabcbbnn. 例19.已知数列}{na满足:,4,N,23111anaann求.na 解:作方程.23,2310xxx则当41 a时,.21123,1101abxa 数列 }{nb是以31为公比的等比数列.于是.N,)31(2112323,)31(211)31(1111nbabbnnnnnn 2 、对于由递推公式nnnqapaa12,21, aa给出的数列 na,方程02qpxx,叫做数列 na的特征方程。若21 , xx是特征方程的两个根,当21xx 时,数列 na的通项为1211 nnnBxAxa,其中A,B 由21, aa决定(即把2121,,,xxaa和2,1n,代入1211 nnnBxAxa,得到关于A、B 的方程组);当21xx时,数列 na的通项为11)(nnxBnAa,其中A,B 由21, aa决定(即把2121,,,xxaa和2,1n,代入11)(nnxBnAa,得到关于A、B 的方程组)。 例20:已知数列 na满足),0(0253,,1221Nnnaaabaaannn,求数列 na的通项公式。 解法一(待定系数——迭加法) 由025312nnnaaa,得)(32112nnnnaaaa,且abaa12。 则数列nnaa1是以ab 为首项,32 为公比的等比数列,于是 11)32)((nnnabaa。把nn,,3,2,1代入,得abaa12, )32()(23abaa,234)32()(abaa,21)32)((nnnabaa。 把以上各式相加,得])32()32(321)[(21nnabaa)(321)32(11abn。 abbaaabannn23)32)((3)]()32(33[11。 解法二(特征根法):数列 na:),0(025312Nnnaaannn, baaa21,的特征方程是:02532xx。 32,121xx,1211 nnnBxAxa1)32(nBA。 又由baaa21,,于是)(32332baBabABAbBAa 故1)32)((323nnbaaba 3、如果数列}{na满足下列条件:已知1a 的值且对于Nn,都有hraqpaannn1(其中 p、q、r、h 均为常数,且rharqrph1,0,),那么,可作特征方程hrxqpxx,当特征方程有且仅有一根0x...