第一讲 定积分的数值计算 【主要目的】围绕定积分的概念与数值计算方法这一大家非常熟悉的主题，突出数值实验、几何观察、数值分析等实验特性，学生通过实验与理论的对照，加深对数学思想和数学知识的理解和掌握，学习如何从实验角度创新知识、发现知识，并上升到理论分析的角度。 【主要内容】定积分的数值计算方法，包括：矩形法、梯形法与辛普森法；对误差的了解：精度与收敛速度 引言 首先回忆一下函数 在区间 上的定积分概念的建立过程。考虑在区间 内任意插入 个分点的分法 ： 把 分割成 个小区间，第 个子区间的长度为 ；任取数 ，做乘积 ，把所有这些乘积相加得到和式 . 如果无论区间 怎样划分及分点 怎样选取，当 时，该和式都趋于同一常数，则称函数 在区间 上可积，且称此常数为 在区间 上的定积分，即 。 称和式 为积分和或黎曼和。 在定积分的概念中包含了两个任意性，即对区间的分割 和点 的选取都是任意的。显然，对于区间的不同分割 或者点 的选取不同，得到的和式一般不同。定积分的定义中要求在对区间无限细分（ ）的条件下，所有这些和式都趋于同一数值。这一点初学者较难理解。我们将通过数值实验来加以理解。 当 在区间 上连续， 为 在区间 上的原函数时，我们可以用牛顿-莱布尼兹公式 方便地求得。但是有些函数其原函数不能用初等函数表示出来，这样对应的定积分通常也不能用牛顿-莱布尼兹公式算出其精确值。而且，在自然科学与工程技术中有许多问题，被积函数并不是用具体函数表达式解析表示的，而经常是通过实验或测量方法用表格或图形给出的，这就导出了定积分的数值计算问题。我们将利用“分割取近似，作和求极限”这一定积分思想方法，来构造一些数值计算方法，并进行数值实验。 实验一 定积分概念的深化——达布和 设函数 在区间 上有界。考虑将将区间 任意分割成 个子区间 （ ）的分法 ，设 在子区间 上的上、下确界分别为 ，称 为 在子区间 上的振幅，和式 分别称为 关于该分割 的达布（Darbou x ）大和与达布小和。由定义可知，函数 对应于同一分割 的积分和有无穷多个，但达布大和与达布小和却都各只有一个。当 在区间 上不连续时，达布和不一定是积分和，但它们都与积分和有着密切的联系，容易知道对于同一分割 ，有 . 可以证明 在区间 上可积的充分必要条件是 现在假定 在区间 上非负连续，那么达布大和 在几何上就表示在子区间 ...
