第七章 参数估计 统计推断的基本问题可以分为两大类，一类是估计问题，另一类是假设检验问题．本章讨论总体参数的点估计和区间估计． §1 点 估 计 设总体X 的分布函数的形式为已知，但它的一个或多个参数为未知，借助于总体X 的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为参数的点估计问题． 例 1 在某炸药制造厂，一天中发生着火现象的次数X 是一个随机变量，假设它服从以>o为参数的泊松分布，参数为未知．现有以下的样本值，试估计参数． 解 由于X，故有＝ E(X)．我们自然想到用样本均值来估计总体的均值E(X)．现由已知数据计算得到 得 E(X)＝的估计为1． 22． 口 .176. 点估计问题的一般提法如下：设总体X 的分布函数的形式为已知，是待估参数．X，， X：，„，X。是X 的一个样本，是相应的一个样本值．点估计问题就是要构造一个适当的统计量()，用它的观察值（）作为未知参数的近似值．我们称()为的估计量，称()为的估计值．在不致混淆的情况下统称估计量和估计值为估计，并都简记为．由于估计量是样本的函数．因此对于不同的样本值，的估计值一般是不相同的。 例如在例1 中，我们用样本均值来估计总体均值．即有估计量 下面介绍两种常用的构造估计量的方法：矩估计法和最大似然估计法． (一)矩估计法 设X 为连续型随机变量，其概率密度为Zf(x；)，或X 为离散型随机变量，其分布律为P{X＝x}＝p(x；)，其中为待估参数，是来自X 的样本．假没总体X 的前k 阶矩 (其中Rx 是X 可能取值的范围)存在．一般来说，它们是的函数．基于样本矩： ○1 多于一个未知参数时，可同样讨论． · 177· 依概率收敛于相应的总体矩 (i=l，2，„，k)，样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数(见第六章§2)，我们就用样本矩作为相应的总体矩的估计量，而以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量．这种估计方法称为矩估计法．矩估计法的具体做法如下：设 这是一个包含是k 未知参数的联立方程组．一般来说，可以从中解出，得到 以 Ai 分别代替上式中的，i＝1，2，„，k，就以 分别作为，i＝1，2，„，k 的估计量，这种估计量称为矩估计量．矩估计量的观察值称为矩估计值． 例 2 设总体X 在[a，b]上服从均匀分布，a，b 未知．是来自X 的样本，试求 a，b 的矩估计量． ． 178． · 自这一方程组解得 解 所得结果表明，总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体分布而...
