1 第七章 线性变换(小结) 本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系. 线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用. 本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算 1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换与逆变换; 线性变换的值域与核，秩与零度; 线性变换的和与差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式. 2. 基本结论 (1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组 (2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换. (3) 线性变换的基本运算规律(略). (4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间. (5) 线性空间V 的线性变换 A的象 Im(A )= A V 与核 kerA = A -1(0) (a) A的象 Im(A )= A V 与核 kerA = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )= n,则 Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基n,...,,21, Im(A )= A V=L(A 1, A 2,… ,A n)={ A |V} . kerA = A -1(0)= { V| A =0} . (c)A的秩(dim Im(A ))+A的零度(dim kerA )=n. 2 (d)A是双射 A是单射 Ker(A )={0} A是满射. (e)像空间的一组基的原像与核空间的一组基合并就是线性空间V 的一组基: 取ImA的一组基r,,21,存在,,...,21r使得A ii ,i=1,2,… ,r. 再取kerA的基,,...1nr则,,...,21r,,...1nr就是V 的一组基. 二、线性变换与矩阵 1.基本概念: (1)线性变换在基下的矩阵: 设A L(V),取定n维线性空间V 的一组基n,...,,21,则A 1, A 2,… ,A n 可由1,2,…,n线性表示, 即 (A 1, A 2,… ,A n)=( n,...,,21)A, 矩阵A 称为线性变换A在此基下的矩阵. (2) 一个线性变换在不同基下的矩阵相似: 设n,...,,21,n,...,,21...
