第七章线性变换

第七章 线性变换 一. 内容概述 1 . 线性变换的概念 设nV 是n 维线性空间，T 是n 维线性空间nV 中的变换，且满足 1 ） 对任意向量nV,,有 )()()(TTT 2 ） 对任意向量FkVn,,有)()(kTkT 则称为中的线性变换。 2 . 线性变换的性质及运算 1 )0)0(T )()(TT 2 ) )()()()(22112211nnnnTkTkTkkkkT 3 ）设向量组n,,,21线性相关，则向量组)(),(),(21nTTT也线性相关。 线性变换的和：)()())((2121TTTT 线性变换的积：))(())((2121TTTT 数乘变换：)())((TT 线性变换T 可逆时，逆变换1T 都是线性变换。 线性变换的多项式：0111)(aaaafmmmm 3 . 线性变换的矩阵 设 是V 的一个线性变换，n,,,21是V 的一个基，且 nnaaa122 111 11 )( nnaaa222 211 22 )(  nnnnnnaaa2211)( 记))(),(),((),,,(2121nn Annn),,,())(,),(),((),,,(212121 则称A 为线性变换 在基n,,,21下的矩阵。 4 . 设n,,,21是数域 P 上n维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式)( 对应一个nn矩阵，这个对应具有以下性质： 1） 线性变换的和对应与矩阵的和； 2） 线性变换的积对应与矩阵的积； 3） 线性变换的数量乘积对应与矩阵的数量乘积； 4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对于与逆矩阵。 5. 同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的，反之亦然 6. 线性变换的值域与核及其求法 VV)()( 值域记为)(mI， V,0)()0(1,记为 )ker( 1）)0(),(1 V都是V 的子空间 2）设V 是P 上的线性空间，则nIm)ker(dim)(dim 7. 线性变换的特征值，特征向量及其求法 定义：设 是数域P 上线性空间的一个线性变换，如果对于数域中一数0 存在非零向量 ，使得0)( （1）那么0 称为 的一个特征值，而 称为 的属于特征值0 的特征向量。 求法如下：1）写出线性变换 在基下的矩阵A 2）求出A 的特征多项式AE 在数域P 中的全部的根，它们就是 的全部特征值 3）0XAE...