1 第二章 有限群的表示理论 2 .1 概述 1、从一般意义上说，若群G 和群W 是同态的（严格地说，是 G 到 W 的同态），则两个群有结构相似性，我们称 W 是 G 的一个同态表示。 例如，任何 g 阶有限群12{,,,}gGAE AA，都与{1}W 同态。事实上，首先两个群之间有下列对应关系： 12,,,1fgA AA 其次，,ijA AG，都有 ()() ()1ijijf A Af A f A 因此，{1}W 是任何有限群的一个同态表示，这是群的最简单的表示。 又例如，24{ ,,,}xyHE Cm m与{1, 1}L 同态，所以 L 是 H 的同态表示 由于群和它的同态表示之间，元素有多对一的对应关系，因此同态表示又称非忠实表示。 2、更为有意义的是所谓同构表示。若群G 和群W 同构，则两个群有相同的结构，我们称 W 是 G 的一个同构表示（当然，也可以说 G 是 W 的一个同构表示）。由于群和它的同构表示之间，元素有一一对应的关系，因此同构表示又称忠实表示。 3、在表示理论中，特别有价值的是便于计算的表示，比如矩阵表示。也就是，用一个与有限群G 同构的矩阵群( )D G 作为群的一个表示。今后，我们所说的表示如未作特殊说明均指矩阵表示，简称表示。 2 .2 群的矩阵表示 首先，我们想要指出的是，任何一个群至少可以找到一个同构的矩阵群。例如： (1) 二阶群：由于所有的二阶群都是同构的（二阶循环群），因此，任何一个二阶群2{, }GEAA，有无数个与之同构的矩阵二阶群： 2 2( ){ ( )( ),( )}D GD EDAI D A； (2) 三阶群：三阶群是素数阶群，只有一种结构就是三阶循环群。因此，任何三阶群32{, ,}GEAA A，至少有一个与之同构的矩阵三阶循环群，例如： 1313102222( ){,,}0131312222D G (3) 234444{ ,,,,,,,}xyCE C C C m m 群和下列矩阵群同构： 23444( ){ ( ),(),(),(),(),(),(),()}xyD GD E D CD CD CD mD mDD 其中： 10( )01D E ，401()10D C 2410()01D C ，3401()10D C 10()01xD m ，10()01yD m 01()10D ，01()10D 当然，还可以找到其它与此群同构的矩阵群...
