第二节_偏导数及其在经济分析中的应用

1 4、 偏导数的计算法 (1)二元函数情况 ① 将),(yxf中的y 看作常量而对x 求导可得xf. ② 将),(yxf中的x 看作常量而对y 求导可得yf. 例 1(1) 求 223yxyxz在点)2,1(处的偏导数． 解 :yxxz32 , yxyz23 ． 8231221yxxz, 7221321yxyz． (2 )求 2 sinzxy在点(2,)6的偏导数． 解 : (2,)62 sin,|2zzxyxx所以, 2(2,)6cos ,|2 3zzxyyy所以． 例 2 求下列函数的偏导数 （注意理解复合函数求导数:层层求导，导数相乘的含义） (1)求 )2sin(2yxz ． 解 : )2sin(2yxxz  , )2cos(22yxyz ． （ 2）322( , )2ln()f x yxyxxy 解：222( , )3ln()xxfx yxxyxy 22( , )4yxyfx yyxy ． （ 3）2( , )xyf x ye 解：222( , ),( , )2xyxyxyfx yy efx yxye． 2 （ 4） 设2()2yzxyx，其中( )u可微，求,xyzz 解：22() ,()2xyyyzyxyzxxyxx  （ 5）222uxyz（考虑两层复合的函数） 解：222222222,,xyzxyzuuuxyzxyzxyz （ 6）ln tan yzx（考虑三层复合的函数ln,tan,yzu uv vx） 解 6、 偏导数与连续的关系 一元函数中在某点可导 连续， 但是多元函数中在某点偏导数存在  连续. 例如:设.0 ,1,0 ,0),(xyxyyxf 由于00yxxf011lim)0,0()0,0(lim00xxfxfxx, 00yxyf011lim)0,0()0,0(lim00yyfyfyy. 即),(yxf在)0,0(点两个偏导数都存在,但),(yxf在)0,0(点显然间断． 因为( , )(0,0)lim( , )0(0,0)1x yf x yf . 又如，220, ( , )(0,0)( , ), ( , )(0,0)x yf x yxyx yxy  在点(0,0) 处两个偏导数均存在且为0，但是),(yxf在)0,0(点不连续，因为222222( , )(0,0)00lim( , )limlim(1)1x yxxy kxxykxkf x yxyxkk 极限不存在. 3 例 是否存在一个函数( , )f x y ，使得4xfxy，3yfxy？ （分析：21( , )4( )2xf x yf dxxxyy 4( )3yfxyxy，所以这样的( , )f x y 不存在.） 二、高阶偏导数 1、 高阶偏导数:设偏导函数)...