- 1 - 高三第一轮复习——用均值不等式求最值的类型及方法 均值不等式是《不等式》一章重要内容之一,是求函数最值的一个重要工具,也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。 一、几个重要的均值不等式 ①,、)(222222Rbabaababba当且仅当a = b 时,“=”号成立; ②,、)(222Rbabaababba当且仅当a = b 时,“=”号成立; ③,、、 )(33333333Rcbacbaabcabccba当且仅当a = b = c 时,“=”号成立; ④)(3333Rcbacbaabcabccba、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”; ② 熟悉一个重要的不等式链:ba1122abab222ba 。 二、函数( )(0)bf xaxabx、图象及性质 (1)函数0)(baxbaxxf、图象如图: (2)函数0)(baxbaxxf、性质: ①值域:),2[]2,(abab ; ②单调递增区间:(,]ba ,[,)ba ;单调递减区间:(0,]ba,[, 0)ba. 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ:求几个正数和的最小值。 例 1 、求函数21(1)2(1)yxxx的最小值。 解析:21(1)2(1)yxxx 21(1)1(1)2(1)xxx21111(1)222(1)xxxx 3211131222(1)xxx3 1252, xabab2ab2aboy - 2 - 当且仅当211(1)22(1)xxx 即2x 时,“=”号成立,故此函数最小值是52 。 评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 类型Ⅱ:求几个正数积的最大值。 例 2 、求下列函数的最大值: ①23(32 )(0)2yxxx ②2sincos (0)2yxxx 解析:①30,3202xx∴, ∴23(32 )(0)(32 )2yxxxx xx3(32 )[]13xxx, 当且仅当3 2xx 即1x 时,“=”号成立,故此函数最大值是1。 ②0,sin0,cos02xxx∴,则0y ,欲求y 的最大值,可先求2y 的最大值。 242sincosyxx222sinsincosxxx2221(sinsin2cos )2xxx22231 sinsin2cos4()2327xxx , 当且仅当22sin2cosxx(0)2xtan2x,即 tan...