§ 9 有限群的分类 1.凯莱定理：设G 是n 阶群，则G 一定与对称群nS 的某个子群同构。 凯莱定理表明，理论上讲，研究有限群只需把对称群nS 研究透就够了，但由于nS 的阶数( !)n非常大，很难找出G 具体与nS 的哪个子群同构。实际当中采用具体研究的方式。， 2。群的直和分解概念 定义 设12,,,sNNN是群G 的正规子群。如果xG， 都存在唯一的iixN， 使得12sxx xx； 同时当ij时，iN 中的元素与jN中的元素可交换，则称G 为12,,,sNNN的直和，记为 12.sGNNN 例如，以克莱茵四元群为例，4{ , , , }Ke a b c， 取1{ , },Ne a2{ , },Ne b 则 124,,NNK 且有 12,,,eee eNeN 12,,,aae aNeN 12,,,beb eNbN 12,,,cab aNbN 从而根据定义有 412.KNN 再比如，6 阶循环群2345,,,,,Gae a aaaa，6ae。取 331{ ,}Ne aa ，2422{ ,,}Ne aaa ，则不难验证有12GNN。 3.有限群的结构定理 群的分类思想就是把复杂的群分解成简单的、结构完全已知的 群的直和，而循环群的结构最简单、完全清楚，因此，总是将 一般的群分解成循环群的直和。以下将n 阶循环群记为nC 。 情形1： 有限交换群的情形 定理1 每个有限交换群都同构于一些循环群的直和，这些循环群的阶数分别为12,,,smmm， 满足12|,mm 23|,,mm1 |ssmm， 即 12smmmGCCC。 通常称12,,,smmm为G 的不变因子（Invariant factors）。 定理2 设正整数1212tnnntmppp，其中12,,,tppp为互不相同的素数，0in ，则 1212.nnnttmpppCCCC （即循环群还可以进一步分解为更小的循环群的直和） 结合定理1 和定理2 得 定理3 任何有限交换群都可以写成一些有限循环群的直和，其中每个循环群的阶都是素数的方幂。 定理4 素幂阶循环群npZ不可能再分解成阶数更小的循环群的直和。 定理5 若 m 与 n 互素，则mnmnCCC。 将12,,,smmm在整数范围内作因式分解，由于 12|,mm 23|,,mm1 |ssmm， 因此12,,,smmm必有相同的素因子，把它们按从高到低的次序排列如下： 11 11 2112,tnnntmppp 22 12 2212,tnnntmppp 1212,ssstnnnstmppp 其中有些ijn 可以为0，且 120.jjsjnnn 称以上分解出的真因子(0 )ijnjijpn都叫G 的一个初等因子(elementary...
