3热传导方程的初边值问题

1 例4 周期初始温度分布 求解热传导方程txxuu,(,0)xt  给定初始温度分布 ( ,0)1cos2 ,()u xxx    。 解 4( , )1cos2tu x tex . 初始高斯温度分布 例 5 求解定解问题22220,(,0)( ,0),()kxuuaxttxu xex     ， 其中常数0k . 解 22()41( , )( )2x sa tu x ts edsat222()412x sksa teedsat 2222(41)2412ka tsxs xa tedsat22222224(41)()4141412xka tka tsxka tka ta tedsat 222222(41)()4144112kka txxska ta tka teedsat224122112(41)4kxka teatka ta t22412141kxka teka t . §3 初边值问题 设长度为l ,侧表面绝热的均匀细杆,初始温度与细杆两端的温度已知,则杆上的温度分布),(txu满足以下初边值问题 TttgtlutgtulxxxuTtlxtxfuauxxt0),(),(),(),0(,0),()0,(0,0),,(212 对于这样的问题,可以用分离变量法来求解. 将边值齐次化 2 令)()()(),(121tgtglxtgtxU 再作变换 UuV 引入新的未知函数,易知它满足 TttlVtVlxxUxxVTtlxUtxfVaVtxxt0,0),(,0),0(,0),0,()()0,(0,0,),(2 我们先考虑齐次方程,齐次边界的情形 )3.3(0,0),(),0()2.3(,0),()0,()1.3(0,0,02ttlutulxxxutlxuauxxt 解 设),()(),(tTxXtxu代入方程 ),()()()(2tTxXaxXtT ,)()()()(2xXxXtTatT 这等式只有在两边均等于常数时才成立. 令此常数为,则有 ,02TaT （3.4） ,0XX （3.5） 先考虑（3.5）,根据边界条件(3.3),)( xX应当满足边界条件 0)(,0)0(lXX （3.6） 情形A： 当0时,方程（3.5）的通解可以写成 12( ),xxX xC eC e  要使它满足边界条件（3.6）,就必须 ,021 CC ,021lleCeC 由于,011lllleeee 只能,021 CC故在0的情况得不到非平凡解. 情形B： 当0时,方程（3.5）的通解可以写成 3 ,)(21xCCxX 要满足边界条件（3.6）,,0,0211lCCC即021 CC. )( xX也只能...