43多项式方法求特征值问题

4．3 多项式方法求特征值问题 4.3.1 F-L 方法求多项式系数 我们知道，求n 阶方阵A 的特征值就是求代数方程 0||)(IA （4.3.1） 的根。)(称为 A 的特征多项式。上式展开为 nnnnppp.....)(2211 （4.3.2） 其中nppp,...,21为多项式)(的系数。 从理论上讲，求A 的特征值可分为两步： 第一步 直接展开行列式|IA|求出多项式)(； 第二步 求代数方程 0)(x的根，即特征值。 对于低阶矩阵，这种方法是可行的。但对于高阶矩阵，计算量则很大，这种方法是不适用的。这里我们介绍用 F-L（Faddeev-Leverrier）方法求特征方程（4.3.2）中多项式)(的系数。由于代数方程求根问题在第 2 章中已经介绍，所以本节中解决特征值问题的关键是确定矩阵A 的特征多项式)(，所以称这种方法为多项式方法求特征值问题。 记矩阵A=nnija)(的对角线元素之和为 nnaaatrA...2211 （4.3.3） 利用递归的概念定义以下 n 个矩阵:),....,2,1(nkBk ),(................),(...............),(),(,11112231121IpBABIpBABIpBABIpBABABnnnkkk nnkktrBnptrBkptrBptrBptrBp113121332211 （4.3.4） 可以证明,(4.3.4)式中,,...,2,1,nkpk即是所求A 的特征多项式)(的各系数。用（4.3.4）式求矩阵的特征多项式系数的方法称为 F-L 方法。相应特征方程为： 0).....()1(2211nnnnnppp （4.3.5） 而且可证矩阵A 的逆矩阵可表示为 )(1111IpBpAnnn (4.3.6) 例 1 求矩阵 324202423A 的特征值与1A. 解 用F-L 方法求得 831800080008)(152111242824211)(63242024233322322112111trBpIpBABtrBpIpBABtrBpAB 所以A 的特征方程为 0)8156()1(233 此方程的根,即特征值为 214121418741214121)(11,1,82231321IpBpA 从例1 中的计算结果可知.33IpB Faddeev 曾经证明: 对n 阶矩阵A,按(4.3.4)式计算出的nB 总有 IpBnn  (4.3.7) 4 .3 .2 特征向量求法 当矩阵A 的特征向量确定以后,将这些特征值逐个代入齐次线性程组(IA)x =0 中,由于系数矩...