4极值原理与最大模估计

1 §4 极值原理与最大模估计 4．1 弱极值原理 从物理上看,如果物体内部没有“热源”,则在整个热传导的过程中,温度总是趋于平衡,温度最高处热量向其它地方扩散,温度最低处的温度趋于上升,因此物体的最高温度和最低温度总是在初始时刻或物体的边界上达到.如果物体的边界温度及初始温度都不超过某值 M,而且物体内部没有热源,则这物体内就不可能产生大于 M 的温度.物理上这种现象的数学描述就是所谓“极值原理”. 记}0,0|),{(TtlxtxQ, Q 的侧边与底边统称为 Q 的抛物边界,记为  或Qp,0,:),(),0(txtxT,}0,0|),{(TtlxtxQ, }),(|),({)(上的连续函数是QtxutxuuQC, }),(|),({)(上的连续函数是QtxutxuuQC, )}(,,,|{)(12QCuuuuuQCxxxt，, 我们将考虑热传导方程 ),,(2txfuauLuxxt （4.1） 从第一节我们知道,如果0),(txf,则称杆内有热源；如果0),(txf,则表示杆内有冷源,或称为热汇. 定理4.1（弱极值原理）设)()(12QCQCu，,且满足,0),(txfLu则u 在Q 上的最大值必在Q 的抛物边界 上达到,即 ),(max),(maxtxutxuQ （4.2） 证明 先设0),(txf,则我们断言u 必不能在Q 内达到最大值.u 在Q 上连续,有最大值,必在 上达到,若不然,设在某点QtxP),(000,使得 ),(max),(00txutxuQ, 则 ,0,00022PPxuxu ,00Ptu 当Tt 0 ,00Ptu 当Tt 0 2 因此,0),(022200Pxuatutxf这与0),(txf的假设矛盾,因而u 必不能在Q 内达到最大值.),(max),(maxtxutxuQ. 现在考虑一般的情况,即0),(txf,我们设法将它归结为前面已证的情况. 为此,对于任意0,考虑辅助函数 ,),(),(ttxutxv 简单计算可得 ,0fLuLv 应用已证的断言,v一定不能在Q 内达到最大值,（v在 上达到最大值） 则有 ),(max),(maxtxvtxvQ ttxuttxuQ),(max),(max 令0,得 ),(max),(maxtxutxuQ 推论 设)()(12QCQCu，,且满足,0),(txfLu则u 在Q 上的最小值必在 上达到,即 ),(min),(mintxutxuQ （4.3） 如果,0Lu则u 在Q 上的最大值与最小值都必在抛物边界 上达到,即 ),(max),(maxtxutxuQ, ),(min),(mintxutxuQ, )(max)(maxuuQ, uuQ maxmax . 证明 令uv,则0fLuLv,利用定理 4.1,则 ))...