7.2 选择位移函数 有限元法的基本思想是分段逼近，即把感兴趣的区域分为许多小区域（有限元）后再对每个子域用简单函数近似求解，最后得到复杂问题的解.因此，最必要的步骤是为每一个单元的解选择一个简单的函数，用以表示单元内位移形状的这种函数称为位移函数，由于以下原因，多项式形式的位移函数用得最为广泛. （ 1）用多项式形式的插值函数来建立和计算有限元方程比较容易，特别是易于进行微分和积分. （ 2） 如图7-22 所示，增加多项式的阶数可以改善结果的精度.在理论上，无限次多项式就相当于准确解.但在实际中，我们只取有限次的多项式作为近似解. 图 7-22 一维多项式近似 7.2.1 位移函数的多项式形式 一维单元中，位移函数的多项式形式表示为 二维单元中，表示为 三维单元中 在大多数实际应用中，插值函数的多项式的阶数都取为一次、二次或三次，因此，上述方程对于实际情况简化为 一维 二维 三维 一维 二维 三维 一维 二维 7 .2 .2 插值多项式阶次的选择 在选择插值函数多项式的阶次时，必须考虑到下列因素： （ 1）插值多项式应当尽可能满足下节所述的收敛性要求： （ 2）多项式描述的位移形式与局部坐标系无关； （ 3）的数目应等于单元结点自由度的数目. 第 （ 1） 条要求在后面讨论.第 （ 2） 条要求即在不同局部坐标系中，位移函数（多项式）表达式不变，这种性质称为几何等向性，为获得几何等向性，多项式中应含有不违反如图3-23 所示对称性的那些项. 如二维线性单元中，含有和两项，而不仅仅是其中一项. 在二维高阶单元（三角形）情况下，如果由于种种原因忽略了（或）项，则为了保持模式的几何等向性，也不应包括（或）项. 选择插值多项式阶次的最后一个要求，是使多项式中所含的总项数等于单元的结点自由度数目.如三结点三角形平面单元，插值多少项式选为 因为单元结点自由度=，插值多项式系数包含，从而可以用单元结点未知数来表示多项式系数. 又如六结点三角形平面单元，插值多项式可选为： 图 7-23 位函数多项式选择 7 .2 .3 收敛性要求 由于有限元法是一种数值方法，故当单元的尺寸逐渐缩小时，就得到一系列近似解.如果插值多项式满足下列收敛性要求，这一系列解就收敛于准确解，位移函数收敛准则归纳起来有三条： （ 1）位移函数中必须含有反映刚体运动的位移. 多项式函数形式的常数项即体现这一刚体位移.每个单元的位移一般总是包含两部分，一是由本单元形...
