7.4单元刚度矩阵组装及整体分析

7.4 单元刚度矩阵组装及整体分析 7 .4 .1 单刚组装形成总刚 根据全结构的平衡方程可知，总体刚度矩阵是由单元刚度矩阵集合而成的.如果一个结构的计算模型分成个单元，那么总体刚度矩阵可由各个单元的刚度矩阵组装而成，即 [K]是由每个单元的刚度矩阵的每个系数按其脚标编号“对号入座”叠加而成的.这种叠加要求在同一总体坐标系下进行.如果各单元的刚度矩阵是在单元局部坐标下建立的，就必须要把它们转换到统一的结构（总体）坐标系.将总体坐标轴分别用表示，对某单元有 式中，和分别是局部坐标系和总体坐标系下的单元结点位移向量;［T］为坐标转换阵，仅与两个坐标系的夹角有关，这样就有 是该单元在总体坐标系下的单元刚度矩阵.以后如不特别强调，总体坐标系下的各种物理参数均不加顶上的横杠. 下面就通过简单的例子来说明如何形成总体刚度矩阵.设有一个简单的平面结构，选取 6 个结点，划分为 4 个单元.单元及结点编号如图 3-27 所示.每个结点有两个自由度.总体刚度矩阵的组装过程可分为下面几步： 图7-27 （1）按单元局部编号顺序形成单元刚度矩阵.图7-27 中所示的单元③，结点的局部编号顺序为.形成的单元刚度矩阵以子矩阵的形式给出是 （2）将单元结点的局部编号换成总体编号，相应的把单元刚度矩阵中的子矩阵的下标也换成总体编号.对下图3-27 所示单元③的刚度矩阵转换成总体编号后为 （3）将转换后的单元刚度矩阵的各子矩阵，投放到总体刚度矩阵的对应位置上.单元③的各子矩阵投放后情况如下： （4）将所有的单元都执行上述的1，2，3 步，便可得到总体刚度矩阵，如式（3-9）.其中右上角的上标表示第单元所累加上的子矩阵. （3-9） （5）从式（3-9）可看出，总体刚度矩阵中的子矩阵AB 是单元刚度矩阵的子矩阵转换成总体编号后具有相同的下标，的那些子矩阵的累加.总体刚度矩阵第行的非零子矩阵是由与结点相联系的那些单元的子矩阵向这行投放所构成的. 7 .4 .2 结点平衡方程 我们首先用结构力学方法建立结点平衡方程.连续介质用有限元法离散以后，取出其中任意一个结点，从环绕 点各单元移置而来的结点载荷为 式中表示对环绕结点的所有单元求和，环绕结点的各单元施加于结点的结点力为.因此，结点的平衡方程可表示为 （3-10） 以[K]代入平衡方程，得到以结点位移表示的结点的平衡方程，对于每个结点，都可列出平衡方程，于是得到整个结构的平衡方程组如下： 式中，[K]为整体刚度矩阵，为全部结点位移组...