9. (2 0 0 8 湖北理)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，平面ABC⊥侧面A1ABB1. （Ⅰ）求证：AB⊥BC； （Ⅱ）若直线AC 与平面A1BC 所成的角为θ ,二面角A1-BC-A 的大小为φ 的大小关系，并予以证明. 9.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分12 分） （Ⅰ）证明：如右图，过点A 在平面A1ABB1 内作 AD⊥A1B于D，则 由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得 AD⊥平面A1BC,又BC 平面A1BC， 所以AD⊥BC. 因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱， 则AA1⊥底面ABC， 所以AA1⊥BC. 又AA1AD=A,从而 BC⊥侧面A1ABB1， 又AB 侧面A1ABB1，故 AB⊥BC. （Ⅱ）解法 1：连接 CD，则由（Ⅰ）知ACD是直线AC 与平面A1BC所成的角， 1ABA是二面角A1—BC—A 的平面角，即1,,ACDABA 于是在Rt△ADC 中，sin,ADAC 在Rt△ADB 中，sin,ADAB 由AB＜AC，得sinsin＜，又02＜ ，＜ ，所以＜ ， 解法 2：由（Ⅰ）知，以点B 为坐标原点，以BC、BA、BB1 所在的直线分 别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 AA1=a,AC=b, AB=c,则 B(0,0,0), A(0,c,0), 221(,0,0),(0, , ),CbcAc a于是 221(,0,0),(0, , ),BCbcBAc a 221(,,0),(0,0, ).ACbccAAa 设平面A1BC 的一个法向量为n=(x,y,z)，则 由10,0,n BAn BC得220,0,cyazbc x 可取 n=(0,-a,c)，于是0n ACacAC＞ ，与n 的夹角为锐角，则 与 互为余角. 22sincos,n ACacn ACb ac 1221cos,BA BAcBABAac 所以22sin,aac 于是由c＜b，得2222,acab acac＜ 即sinsin ,＜又0,2＜，＜所以,＜ 10. (2 0 0 8 湖南理)如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1 的菱形，∠BCD＝60°， E 是CD 的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 10．解: 解法一 （Ⅰ）如图所示，连结 BD，由 ABCD 是菱形且∠BCD=60°知， △BCD 是等边三角形.因为E 是CD 的中点，所以BE⊥CD,又AB∥CD, 所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，BE 平面ABCD，所以 PA⊥BE.而 PA AB=A,因此 BE⊥平面PAB. 又BE ...
