94高等数学同济大学第六版本

习题94 1 求球面x2y2z2a2 含在圆柱面x2y2ax 内部的那部分面积 解 位于柱面内的部分球面有两块 其面积是相同的 由曲面方程z222yxa得222yxaxxz 222yxayyz 于是 dxdyyzxzAaxyx2222)()(12dxdyyxaaaxyx222222 20c o s02214adada)2(2)s i n(4220adaaa 2 求锥面z22yx被柱面z22x 所割下的部分的曲面的面积 解 由z22yx和z22x 两式消z 得x2y22x 于是所求曲面在xOy 面上的投影区域 D 为 x2y22x 由曲面方程22yx得22yxxxz 22yxyyz 于是 dxdyyzxzAyx1)1(2222)()(1221)1(22dxdyyx 3 求底面半径相同的两个直交柱面x2y2R2 及 x2z2R2 所围立体的表面积 解 设 A1 为曲面22xRz相应于区域 D x2y2R2 上的面积 则所求表面积为 A4A1 d x d yyzxzAD22)()(14d x d yxRxD22220)(14 d x d yxRRD2242221681422RdxRdyxRdxRRRRRxRxR 4 设薄片所占的闭区域 D 如下 求均匀薄片的质心 (1)D 由pxy2 xx0 y0 所围成 解 令密度为1 因为区域D 可表示为pxyxx20 ,00 所以 300020232200pxdxpxdydxdxdyAxxpxD 0002053211100xdxpxxAxdydxAxdxdyAxxxpxD 000208311100yp x d xAy d ydxAydxdyAyxxpxD 所求质心为)83 ,53(00yx (2)D 是半椭圆形闭区域}0 ,1 |),{(2222ybyaxyx 解 令密度为1 因为闭区域D 对称于y 轴 所以0x abdxdyAD21 (椭圆的面积) 34)(21112222022bdxxaabAydydxAydxdyAyaaaaxaDab 所求质心为)34 ,0(b  (3)D 是介于两个圆racos rbcos(0ab)之间的闭区域 解 令密度为1 由对称性可知0y )(4)2()2(2222ababdxdyAD (两圆面积的差) )(2cos212220coscosbaabbadrrrdAxdxdyAxbaD 所求质心是)0 ,)(2(22baabba 5  设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线yx2 ...