第三章随机向量VIP免费

第一节二维随机变量一.随机变量的定义随机向量主要用来描述用一维随机变量不能完全刻划的随机现象。例如，炼钢时，每炉钢含碳量，含硫量，硬度三个指标组成的三维随机向量；导弹的落点与目标之间的误差：由两个连续随机变量组成的二维随机向量；以及更一般的多维随机向量。二维随机变量如果X、Y都是定义在同一个样本空间中的随机变量，则它们构成的向量(X,Y)就称为一个二维随机变量。随机变量(X,Y)的概率性质除了与每一个分量有关外，还依赖于这两个分量之间的相互关系。二.联合分布函数定义3.1.1设(X,Y)是二维随机变量，对于任意的两个实数x、y，二元函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}称为随机变量(X,Y)的分布函数，或者也称随机变量X、Y的联合分布函数1.联合分布函数的定义联合分布函数是对随机变量性质的完整刻划，本质上是两个随机事件交事件的概率。++––ox1x2xyy2y12.利用联合分布函数计算概率P{x1＜X≤x2,y1＜Y≤y2}=F(x2,y2)+F(x1,y1)–F(x1,y2)–F(x2,y1)思考1{X≤x,Y≤y}的对立事件是否{X＞x,Y＞y}？思考2从F(x,y)能不能计算出P{x1＜X≤x2}？定理3.1.1(联合分布函数的性质)设F(x,y)是任一随机向量(X,Y)的分布函数，则(1)(2)F(x,y)分别关于x及y单调不减，即当时，,当，(3)(4)F(x,y)对每个变元是右连续的1),(0yxF1),(,0),(),(),(FxFyFF21xx),(),(21yxFyxF21yy),(),(21yxFyxF例3.1.1已知(X,Y)的联合分布函数是：□xy,当0＜x,y＜1x，当0＜x＜1，y≥1y，当0＜y＜1，x≥11，当x≥1，y≥10，其它F(x,y)=问X、Y至少有一个不大于0.4的概率。解.分析，要计算p=P{(X≤0.4)(∪Y≤0.4)}，利用加法公式，p=P{X≤0.4}+P{Y≤0.4}–P{X≤0.4∩Y≤0.4}=F(0.4,+∞)+F(+∞,0.4)–F(0.4,0.4)=0.4+0.4–0.4×0.4=0.64.三、二维离散型随机变量如果二维随机变量(X,Y)的每个分量都是离散型随机变量，则称(X,Y)是一个离散型二维随机变量。二维随机变量(X,Y)所有可能的取值是有限对或者无穷多对数.定义3.1.2设二维离散型随机变量(X,Y)的可能的取值为且取这些值的概率为则称为(X,Y)的联合概率函数或联合分布律（或联合分布）1.离散随机向量的联合分布律,,2,1,),,(jiyxji,2,1,},,{jiyYxXPpjiijijp①联合分布律实质上仍然是随机事件交事件的概率，②{X=xi，i≥1}与{Y=yj，j≥1}分别都是对③样本空间的划分。2.二维联合分布律的表格形式y1…yj…x1p11…p1j……………xipi1…pij……………XY3.联合分布律的两个性质(1)对任意的i、j，都有pij≥0,(2)111jiijp一般地，若(X,Y)是离散型的，有分布律则对任一实数对（x,y），有xxyyijijpyxF),(,,2,1,,},{jipyYxXPijji(3)二维离散型随机向量的分布函数与概率分布的关系:例3.1.1p77例1。四、二维连续型随机变量1.联合密度函数的定义定义3.1.3对于二维随机变量(X,Y)，如果存在一个非负可积的函数f(x,y)，使得对任意的实数x、y有，xydudvvufyxF.),(),(则称(X,Y)为二维连续型随机变量，称f(x,y)为二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数，简称概率密度。(1)f(x,y)≥0；2.联合密度函数的基本性质(3)如果联合密度函数在点(x,y)连续，则有f(x,y)=——————2F(x,y)xy.1),()2(dxdyyxf(4)假设D是平面上的任意一个区域，则点(X,Y)落在D内的概率，.),(}),{(DdxdyyxfDYXPoxyDf(x,y)例3.1.2设(X,Y)的概率密度函数为其中c是常数。(1)求常数c；(2)计算P{00，若二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为则称(X,Y)服从D上的(二维)均匀分布.,),(,0,),(,1),(DyxDyxAyxf当当例3.1.3设(X,Y)服从圆域上的均匀分布，计算，这里A是图3.3.1中阴影部分的区域。422yx}),{(AYXP.814141}),{(.404,41),(),(441010222222xAdydxdxdyAYXPyxyxyxfYXdyx则有，时当，时，当密度函数为的概率，因此的面积解：圆域2）二维正态...