一维单原子链

1§3-2 一维单原子链1D monatomic chain实际上，固体是由大量原子构成的三维复杂体系，要在理论上解决晶格振动问题，必须作近似处理。一维原子晶格的振动问题既简单、可解，又能反映晶格振动的基本特点。其主要方法和结论可以推广到三维情况。1. 振动方程及其解(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a，原子质量为m。第n个原子第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子aµn-2µ n-1µ nµ n+1µ n+2m由于热运动，原子离开了平衡位置。设：第n个原子离开平衡位置的位移为μn，它相对于a是一个很小的量；第n 个原子到第n+1个原子间相对位移为δ, 则： δ=μn+1-μn；原子m在平衡位置时，两个原子相互作用势为 V(a)；相对位移为δ时，两个原子相互作用势为V (a+δ)；将V (a+δ)在平衡位置用泰勒级数展开，可得：第n个原子第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子aµn-2µ n-1µ nµ n+1µ n+2m；，为常数其中， 0)( )( ......)(21)()()()(222=+++=+=aaadrdVaVdrVddrdVaVaVrVδδδ由于考虑的是微振动，即δ很小，展开式可以近似保留到δ2项。10 )(!...)(!2)()()(''2'<<+++++=+θθδδδδδ其中xfnxfxfxfxfnn即：只考虑最近邻原子间的相对位移的二次项对系统总势能的贡献，则总势能写为：212)(221−−=≈∑nnnVμμββδ第n个原子所受的力：)2(11+− −−−=−≈∂∂−=nnnnVfμμμββδδβ是相邻原子间准弹性力的力常数，它直接由两个原子间的相互作用势能所决定。a是两个原子间的平衡间距。若只考虑最近邻原子间的相互作用，则作用在第n个原子上的力,为来自左边弹簧的张力β(μn -μn-1)与来自右边弹簧的张力β(μn+1-μn )之和。设向右边的为正，则第n个原子的运动方程为：)2 1.3( ...... )2( )()(111122nnnnnnnndtdmμμμβμμβμμβμ−+=−−−=−+−+(2)振动方程和解2或写为:()112+− −−−=nnnnmμμμβμ设方程组的解为：)(naqtinAe−=ωμ[(1)]1[(1)]1itnaqnitnaqnAeAeωωμμ−−−−++==若有n=N个原子，上式代表N个方程[[[])(])1(])1()(22 )( naqtiaqntiaqnqtinaqtiAeAeAeAeim−−−+−−−+=ωωωωβω将试探解代入振动方程:2sin4)cos22()]sin(cos)sin(cos2[22aqaqaqiaqaqiaqmβββω=−=−−+−=2sin2aqmβω =)cos1(212sin , cos2 Aeeii−==+−θθθθ这里利用消去共同指数因子，得振动频率:)2(2−+=−−iaqiaqeemβω得到：此式与n无关，表明N个...